1. Arbre de probabilités pondéré : nœud, branche, chemin
Un arbre de probabilités pondéré est un schéma qui représente une expérience aléatoire se déroulant en plusieurs étapes (contrôle qualité, test de détection, tirages successifs). Il permet d'organiser les calculs et d'éviter les erreurs.
Définitions — vocabulaire de l'arbre.
- Un nœud est un point de départ ou de ramification de l'arbre. Le nœud initial s'appelle la racine.
- Une branche relie deux nœuds ; elle porte une probabilité (d'où le terme « pondéré »).
- Un chemin est une suite de branches allant de la racine à une issue finale : il représente un événement composé.
Exemple. Dans un atelier de préparation de commandes, on prélève un article au hasard. On note A « l'article provient de la machine A » et D « l'article présente un défaut ». L'arbre a deux niveaux : d'abord la machine (A ou Ā), puis le résultat du contrôle (D ou D̄). Chaque chemin complet (racine → machine → contrôle) correspond à un événement comme « A ∩ D » : article de la machine A ET défectueux.
2. Construire un arbre depuis un tableau croisé d'effectifs
En première, on a exploité des tableaux croisés d'effectifs. En terminale, on les traduit en arbres pondérés, ce qui prépare les calculs conditionnels.
Exemple résolu pas à pas. Un magasin contrôle 400 articles livrés par deux ateliers. Le tableau croisé est :
| Défectueux (D) | Sans défaut (D̄) | Total | |
|---|---|---|---|
| Atelier A | 30 | 220 | 250 |
| Atelier B (Ā) | 6 | 144 | 150 |
| Total | 36 | 364 | 400 |
Étape 1 — premier niveau (l'atelier) : P(A) = 250/400 = 0,625 et P(Ā) = 150/400 = 0,375.
Étape 2 — deuxième niveau (le défaut, sachant l'atelier) : parmi les 250 articles de A, 30 sont défectueux : PA(D) = 30/250 = 0,12, donc PA(D̄) = 0,88. Parmi les 150 articles de B : PĀ(D) = 6/150 = 0,04, donc PĀ(D̄) = 0,96.
Étape 3 : on reporte ces probabilités sur les branches. L'arbre complet permet tous les calculs de la suite.
3. Probabilité conditionnelle
Définition. Soit B un événement de probabilité non nulle. La probabilité de A sachant B, notée PB(A), est la probabilité que A se réalise en sachant que B est réalisé :
PB(A) = P(A ∩ B) / P(B)
Sur un arbre, les probabilités du deuxième niveau sont des probabilités conditionnelles : la branche « D » partant du nœud « A » porte PA(D).
Exemple (suite). PA(D) = 0,12 signifie : « sachant que l'article vient de l'atelier A, la probabilité qu'il soit défectueux est 0,12 » (12 % de défauts dans la production de A). Attention à l'ordre : PD(A), probabilité que l'article vienne de A sachant qu'il est défectueux, vaut 30/36 ≈ 0,833 : ce n'est pas du tout la même chose !
4. Règles de calcul sur un arbre pondéré
Règles à connaître.
- Règle du nœud : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
- Règle du chemin (produit) : la probabilité de l'événement associé à un chemin est le produit des probabilités des branches du chemin : P(A ∩ D) = P(A) × PA(D).
- Règle de la somme : la probabilité d'un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
Exemple résolu (suite). Probabilité qu'un article provienne de A et soit défectueux :
P(A ∩ D) = P(A) × PA(D) = 0,625 × 0,12 = 0,075 (soit 30/400 : on retrouve le tableau).
De même : P(Ā ∩ D) = 0,375 × 0,04 = 0,015 (soit 6/400).
5. La formule des probabilités totales
Propriété. Quand un événement D peut se réaliser par plusieurs chemins de l'arbre (disjonction de cas), sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins :
P(D) = P(A ∩ D) + P(Ā ∩ D) = P(A) × PA(D) + P(Ā) × PĀ(D)
On la lit directement sur l'arbre : on repère tous les chemins qui aboutissent à D, on calcule chaque chemin (produit), puis on additionne.
Exemple résolu (suite). Probabilité qu'un article pris au hasard soit défectueux :
P(D) = 0,075 + 0,015 = 0,09, soit 9 % d'articles défectueux — on retrouve 36/400.
Autre situation — test de détection. Un test détecte les défauts d'impression sur des photos. 2 % des tirages ont un défaut (M). Le test se déclenche pour 95 % des tirages défectueux, mais aussi, à tort, pour 3 % des tirages corrects. Probabilité que le test se déclenche :
P(T) = P(M) × PM(T) + P(M̄) × PM̄(T) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,03 = 0,019 + 0,0294 = 0,0484.
Le test se déclenche dans 4,84 % des cas — plus souvent à tort (2,94 %) qu'à juste titre (1,9 %) !
6. Indépendance de deux événements
Définition. Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants lorsque :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Concrètement : savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A (PB(A) = P(A)). Pour montrer que deux événements sont indépendants, on calcule séparément P(A) × P(B) et P(A ∩ B), puis on compare.
Exemple 1 — tirages avec remise. Un jeu promotionnel en magasin consiste à tirer deux fois de suite un ticket dans une urne, avec remise. La composition de l'urne ne change pas : les deux tirages sont indépendants. Si la probabilité de gagner à un tirage est 0,1, la probabilité de gagner deux fois est 0,1 × 0,1 = 0,01.
Exemple 2 — vérification. Dans l'exemple du contrôle qualité : P(A) × P(D) = 0,625 × 0,09 = 0,056 25 ≠ P(A ∩ D) = 0,075. Les événements « venir de l'atelier A » et « être défectueux » ne sont pas indépendants : la machine A produit proportionnellement plus de défauts.
7. Erreurs fréquentes
- Additionner les probabilités d'un chemin au lieu de les multiplier : P(A ∩ D) = P(A) × PA(D), pas P(A) + PA(D).
- Confondre PB(A) et PA(B) : « sachant que » concerne l'événement en indice, qui est la nouvelle population de référence.
- Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales : repérer sur l'arbre TOUS les chemins qui mènent à l'événement.
- Écrire des branches dont la somme n'est pas 1 : vérifier la règle du nœud à chaque ramification.
- Déclarer deux événements indépendants sans calcul : il faut vérifier P(A ∩ B) = P(A) × P(B).