1. Définition d'une suite géométrique
En première, on a étudié les suites arithmétiques : on ajoute toujours le même nombre (évolution à quantité constante : +50 € par mois). De nombreuses situations professionnelles évoluent autrement : on multiplie toujours par le même nombre (évolution à taux fixe : +2 % par an, −20 % par démarque).
Définition. Une suite (un) est géométrique de raison q (avec q > 0) lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par q :
u(n + 1) = u(n) × q, pour tout rang n.
La suite est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et de sa raison q.
Exemple. Un article coûte 80 €. Pendant les soldes, le prix subit deux démarques successives de −20 %. Baisser de 20 %, c'est multiplier par 1 − 0,20 = 0,8. On pose u(0) = 80 :
u(1) = 80 × 0,8 = 64 € ; u(2) = 64 × 0,8 = 51,20 € ; u(3) = 51,20 × 0,8 = 40,96 €.
La suite des prix est géométrique de premier terme 80 et de raison q = 0,8. Attention : deux baisses de 20 % donnent 51,20 €, et non 80 − 2 × 16 = 48 € : la deuxième remise porte sur le prix déjà soldé.
Lien avec les évolutions à taux fixe. Augmenter une valeur de t % revient à multiplier par le coefficient multiplicateur CM = 1 + t/100 ; diminuer de t % revient à multiplier par CM = 1 − t/100. Toute évolution à taux fixe se modélise donc par une suite géométrique de raison q = CM.
2. Expression du terme de rang n
Propriété. Pour une suite géométrique de premier terme u(0) et de raison q > 0 :
u(n) = u(0) × qn
Si le premier terme est u(1), on a u(n) = u(1) × qn−1. Cette formule permet de calculer directement un terme de rang élevé, sans calculer tous les termes intermédiaires.
Exemple résolu. Une trésorerie de 2 000 € est placée à 2 % par an (intérêts composés). Le capital forme une suite géométrique de premier terme u(0) = 2 000 et de raison q = 1,02. Capital au bout de 5 ans :
u(5) = 2 000 × 1,025 = 2 000 × 1,10408 ≈ 2 208,16 €.
On calcule d'un coup le terme de rang 5 : pas besoin de connaître u(1), u(2), u(3), u(4).
3. Sens de variation
Propriété (q > 0). Le sens de variation d'une suite géométrique dépend de la raison q ET du signe du premier terme :
| u(0) > 0 | u(0) < 0 | |
|---|---|---|
| q > 1 | strictement croissante | strictement décroissante |
| 0 < q < 1 | strictement décroissante | strictement croissante |
| q = 1 | constante | constante |
Repère métier : une hausse à taux fixe (q > 1) donne une croissance de plus en plus rapide ; une baisse à taux fixe (0 < q < 1) donne une décroissance qui ralentit : les termes se rapprochent de 0 sans l'atteindre.
Exemple. Le prix soldé u(n) = 80 × 0,8n : 0 < q < 1 et u(0) > 0, la suite est décroissante ; chaque démarque enlève un montant de plus en plus faible (16 €, puis 12,80 €, puis 10,24 €). Le nuage de points (n ; u(n)) descend en « s'écrasant » vers l'axe des abscisses : c'est l'allure typique d'une évolution géométrique.
4. Somme des n premiers termes
Propriété (formule fournie, sa connaissance n'est pas exigée). Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, la somme de n termes consécutifs est :
S = premier terme de la somme × (1 − qnombre de termes) / (1 − q)
En particulier : u(0) + u(1) + … + u(n) = u(0) × (1 − qn+1) / (1 − q).
Exemple résolu. Un vendeur met de côté 500 € la première année, puis augmente son effort d'épargne de 10 % chaque année. Les versements forment une suite géométrique de premier terme 500 et de raison 1,1. Total épargné en 10 ans (10 versements, de u(0) à u(9)) :
S = 500 × (1 − 1,110) / (1 − 1,1) = 500 × (1 − 2,59374) / (−0,1) = 500 × 15,93742 ≈ 7 968,71 €.
Le tableur ou la calculatrice peut aussi additionner directement les dix termes pour vérifier.
5. Lien avec les fonctions exponentielles
Propriété. Une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q a pour terme général u(n) = qn. Les points du nuage (n ; u(n)) sont donc situés sur la courbe de la fonction exponentielle de base q, x ↦ qx, définie pour tout réel x (étudiée au chapitre 5). La suite géométrique est la version discrète (année par année) d'un phénomène que la fonction exponentielle décrit de façon continue.
Exemple. Le placement à 2 % : u(n) = 2 000 × 1,02n. Les points du nuage appartiennent à la courbe de f(x) = 2 000 × 1,02x. Sur papier semi-logarithmique, ce nuage serait aligné : c'est une signature des évolutions à taux fixe.
Méthode — Seuil à dépasser, avec un outil numérique. Pour déterminer le rang à partir duquel les termes dépassent une valeur donnée, on peut utiliser une boucle en Python :
u = 2000
n = 0
while u < 3000:
u = u * 1.02
n = n + 1
print(n)
Le programme affiche 21 : le capital de 2 000 € placé à 2 % dépasse 3 000 € au bout de 21 ans (u(20) ≈ 2 972 € ; u(21) ≈ 3 031 €).
6. Erreurs fréquentes
- Confondre suite arithmétique et géométrique : vérifier si on ajoute (différence constante) ou si on multiplie (quotient constant u(n+1)/u(n) = q).
- Additionner les taux lors d'évolutions successives : deux hausses de 10 % donnent un coefficient 1,1 × 1,1 = 1,21, soit +21 %, pas +20 %.
- Se tromper de rang : avec u(0) premier terme, u(5) correspond à la 6ᵉ valeur ; vérifier sur les premiers termes.
- Oublier que q > 0 dans ce cours : les raisons négatives (termes alternés) ne sont pas au programme.
- Appliquer la formule de la somme avec q = 1 : dans ce cas, la somme est simplement n × u(0).