Fonction cube et fonctions polynômes de degré 3 — Maths-Sciences LP Saint-Étienne

1. La fonction cube

Le volume d'un cube de côté x est x³ : la fonction cube apparaît dès qu'on manipule des volumes (emballages, meubles de présentation, contenants). C'est aussi la brique de base des polynômes de degré 3.

Définition. La fonction cube est la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère : (−x)³ = −x³ (fonction impaire).

Propriétés de la fonction cube.

Dérivée : f′(x) = 3x².
Signe de la dérivée : 3x² ≥ 0 pour tout x (et 3x² = 0 seulement en x = 0).
Variations : la fonction cube est strictement croissante sur ℝ.
En x = 0, la tangente est horizontale (f′(0) = 0) mais la courbe traverse sa tangente : la courbe continue de monter.

Remarque essentielle. Le seul fait que la dérivée s'annule en un point ne suffit pas pour conclure que la fonction possède un extremum local en ce point. Contre-exemple : la fonction cube vérifie f′(0) = 0, pourtant elle n'a ni maximum ni minimum en 0, car elle reste croissante. Pour conclure à un extremum, il faut que la dérivée s'annule ET change de signe.

2. Dérivée d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

Définition. Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction de la forme f(x) = ax³ + bx² + cx + d, avec a ≠ 0.

Formules et règles de dérivation.

Fonction	Dérivée
k (constante)	0
x	1
x²	2x
x³	3x²
k × u (k constant)	k × u′
u + v (somme)	u′ + v′

Conséquence : la dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2, dont on sait étudier le signe (discriminant, racines, tableau de signes — notions de première).

Exemple résolu. Dériver f(x) = 2x³ − 5x² + 3x − 7 :

f′(x) = 2 × 3x² − 5 × 2x + 3 × 1 − 0 = 6x² − 10x + 3.

Chaque terme est dérivé séparément (règle de la somme) et les coefficients sont conservés (règle k × u).

3. Tableau de variations à partir du signe de la dérivée

Propriété. Sur un intervalle : si f′(x) > 0, alors f est croissante ; si f′(x) < 0, alors f est décroissante. On dresse donc le tableau de variations en trois étapes : dériver, étudier le signe de f′ (polynôme de degré 2 : discriminant et racines), conclure.

Exemple résolu pas à pas. Le bénéfice hebdomadaire d'un rayon (en centaines d'euros) est modélisé par f(x) = x³ − 3x, où x est le niveau de promotion appliqué (de −3 à 3).

Étape 1 — dérivée : f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).

Étape 2 — signe de f′ : les racines sont x = −1 et x = 1. Un polynôme de degré 2 est du signe de a = 3 > 0 à l'extérieur des racines : f′(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[, f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[.

Étape 3 — variations et valeurs remarquables : f(−1) = (−1)³ − 3 × (−1) = −1 + 3 = 2 ; f(1) = 1 − 3 = −2.

x	−∞		−1		1		+∞
Signe de f′(x)		+	0	−	0	+
Variations de f		↗	2	↘	−2	↗

4. Extremums locaux

Courbe de f(x) = x³ − 3x avec maximum local et minimum local marqués — f(x) = x³ − 3x : la dérivée 3x² − 3 s'annule en −1 et 1, donnant un maximum et un minimum locaux.

Définitions. f admet un maximum local en a si, au voisinage de a, f(x) ≤ f(a) ; un minimum local en a si f(x) ≥ f(a). Ce sont des extremums « locaux » : valables seulement autour du point, pas forcément sur tout l'ensemble de définition.

Propriété. Si f′ s'annule en a ET change de signe en a, alors f admet un extremum local en a : maximum si f′ passe de + à −, minimum si f′ passe de − à +. Si f′ s'annule sans changer de signe (cas du cube en 0), il n'y a pas d'extremum.

Exemple (suite). Pour f(x) = x³ − 3x : f′ s'annule en −1 en passant de + à − : maximum local f(−1) = 2. f′ s'annule en 1 en passant de − à + : minimum local f(1) = −2. Sur ℝ, la fonction n'a ni maximum ni minimum global (elle monte jusqu'à +∞ et descend jusqu'à −∞).

5. Nombre de solutions de l'équation f(x) = c

Méthode. On lit le tableau de variations et on « place » la valeur c horizontalement : le nombre de solutions de f(x) = c est le nombre de fois où la courbe coupe la droite d'ordonnée c.

Exemple résolu (suite). Avec le tableau de f(x) = x³ − 3x (maximum local 2, minimum local −2) :

Si c > 2 ou c < −2 : 1 seule solution (la droite ne coupe la courbe qu'une fois).
Si c = 2 ou c = −2 : 2 solutions (dont l'une est le point où la dérivée s'annule).
Si −2 < c < 2 : 3 solutions. Par exemple f(x) = 0 a trois solutions : x = −√3, x = 0, x = √3.

Application métier : « pour quel niveau de promotion le bénéfice atteint-il 150 € ? » revient à résoudre f(x) = 1,5 : le tableau montre qu'il y a trois valeurs possibles ; un balayage numérique (tableur, Python) donne une valeur approchée de celle qui convient au contexte.

Vigilance. Quand la dérivée n'est pas facilement factorisable, l'outil numérique (calculatrice, GeoGebra) permet de déterminer ses racines éventuelles et d'établir quand même le tableau de variations.

6. Erreurs fréquentes