Probabilités
Combien de feuilles seront gâchées sur un tirage de 2 000 ? Quelle proportion des commandes partira en retard ce mois-ci ? Un client choisira-t-il au hasard la maquette A ou la B ? Les probabilités donnent un cadre mathématique pour répondre à ces questions d'incertitude.
1. Expérience aléatoire, univers, événements
Définitions.
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prévoir celui qui sera réalisé.
- L'univers Ω (on lit « oméga ») est l'ensemble de toutes les issues possibles.
- Un événement est un sous-ensemble de Ω (un ensemble d'issues). Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue.
Exemple contextualisé. Un imprimeur contrôle une feuille en sortie de presse : elle est soit conforme (C), soit à retoucher (R), soit à jeter (J). L'univers est Ω = {C ; R ; J}. L'événement A = « la feuille ne peut pas être livrée telle quelle » est A = {R ; J} : ce n'est pas un événement élémentaire, il contient deux issues.
2. Probabilité d'un événement
Définition. La probabilité d'un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que A se réalise. La somme des probabilités de toutes les issues de Ω vaut 1.
Cas de l'équiprobabilité : quand toutes les issues ont la même probabilité (tirage au sort équitable), alors :
P(A) = nombre d'issues favorables à A / nombre total d'issues
Exemple 1 — Équiprobabilité. Pour tester la visibilité d'une enseigne, on tire au hasard une maquette parmi 8 versions (3 fonds bleus, 5 fonds blancs). Chaque version a la même chance d'être tirée :
P(fond bleu) = 3/8 = 0,375.
Exemple 2 — Pas d'équiprobabilité. En sortie de presse, les issues C, R, J n'ont pas la même fréquence : l'historique de l'atelier donne P(C) = 0,94 ; P(R) = 0,05 ; P(J) = 0,01. On vérifie : 0,94 + 0,05 + 0,01 = 1. ✔ Ici les probabilités viennent de fréquences observées sur un grand nombre de feuilles, pas d'un dénombrement.
3. Événement contraire
Définition. L'événement contraire de A, noté Ā, est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas. On a toujours :
P(Ā) = 1 − P(A)
Exemple. La probabilité qu'une commande parte en retard est P(R) = 0,16. La probabilité qu'elle parte à l'heure est P(R̄) = 1 − 0,16 = 0,84, soit 84 %.
Astuce. Quand un énoncé contient « au moins un… », il est souvent plus simple de passer par l'événement contraire (« aucun… »). P(au moins un défaut) = 1 − P(aucun défaut).
4. Événements incompatibles, réunion et intersection
Définitions.
- A et B (intersection, notée A ∩ B) : l'événement qui se réalise quand A et B se réalisent en même temps.
- A ou B (réunion, notée A ∪ B) : l'événement qui se réalise quand A se réalise, ou B se réalise, ou les deux.
- A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A ∩ B = ∅ (ensemble vide).
Propriété fondamentale. Pour deux événements quelconques A et B :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∩ B) = 0 et la formule devient : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Vigilance. On retranche P(A ∩ B) pour ne pas compter deux fois les issues qui sont dans A et dans B. Oublier ce terme est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
5. Tableaux croisés d'effectifs et fréquences conditionnelles
En production, les données se présentent souvent sous forme de tableau croisé : deux critères (par exemple le support et le respect du délai) croisés en lignes et colonnes.
Exemple fil rouge. Une imprimerie a traité 200 commandes le mois dernier :
| Livrées à temps | Livrées en retard | Total | |
|---|---|---|---|
| Support papier | 108 | 12 | 120 |
| Bâche / grand format | 60 | 20 | 80 |
| Total | 168 | 32 | 200 |
On choisit une commande au hasard (équiprobabilité). On note A = « commande livrée à temps » et B = « commande sur support papier ».
- P(A) = 168/200 = 0,84 ; P(B) = 120/200 = 0,6 ;
- A ∩ B = « livrée à temps ET sur papier » : P(A ∩ B) = 108/200 = 0,54 ;
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,84 + 0,6 − 0,54 = 0,90 (90 % des commandes sont à temps ou sur papier).
Définition — Fréquence conditionnelle. La fréquence de B parmi A est la proportion de B calculée uniquement dans la sous-population A. Dans un tableau croisé, on se place dans la ligne (ou la colonne) de A et on divise par le total de cette ligne (ou colonne).
Exemple (suite). Fréquence des livraisons à temps parmi les commandes papier : on se place dans la ligne « papier » : 108/120 = 0,90 (90 %). Fréquence des livraisons à temps parmi les commandes bâche : 60/80 = 0,75 (75 %). Le grand format semble plus souvent en retard : voilà une information utile pour le chef d'atelier.
6. Probabilité conditionnelle
Définition. Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A, notée PA(B), est la probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé :
PA(B) = P(A ∩ B) / P(A)
Exemple résolu pas à pas. Quelle est la probabilité qu'une commande soit sur papier sachant qu'elle a été livrée à temps ?
- Étape 1. Identifier les événements : on cherche PA(B) avec A = « à temps », B = « papier ».
- Étape 2. P(A ∩ B) = 108/200 = 0,54 et P(A) = 168/200 = 0,84.
- Étape 3. PA(B) = 0,54 / 0,84 ≈ 0,643.
- Vérification directe : parmi les 168 commandes à temps, 108 sont sur papier : 108/168 ≈ 0,643. ✔ C'est la même chose : la probabilité conditionnelle est une fréquence calculée dans une sous-population.
Vigilance. PA(B) et PB(A) ne sont pas égales en général ! Ici PA(B) ≈ 0,643 alors que PB(A) = 108/120 = 0,90. Bien identifier « sachant quoi » : c'est l'événement en indice qui fixe la sous-population (le dénominateur).
7. Erreurs fréquentes
- Oublier de retrancher P(A ∩ B) dans la formule de la réunion.
- Diviser par le mauvais total dans une probabilité conditionnelle (il faut diviser par l'effectif de la condition, pas par le total général).
- Croire que « incompatibles » signifie « contraires » : A et Ā sont toujours incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires (par exemple « fond bleu » et « fond rouge » : incompatibles, mais il reste le fond blanc).
- Écrire une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est le signe immédiat d'une erreur.