Suites numériques
Une suite sert à modéliser tout ce qui évolue par étapes numérotées : production d'un atelier jour après jour, tarif d'une location de panneau mois après mois, hauteur d'une pile de papier feuille après feuille.
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Définition. Une suite numérique u est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou à partir d'un certain rang) qui, à tout entier n, associe un nombre réel noté un (ou u(n)), appelé terme de rang n.
On note la suite (un). L'entier n s'appelle le rang ou l'indice.
Vigilance — notation. un et u(n) désignent la même chose : la valeur du terme de rang n. La notation un (en indice) est la notation usuelle des suites ; u(n) rappelle qu'une suite est une fonction. Ainsi u3 = u(3) : c'est le 3ᵉ terme (ou le terme de rang 3).
Exemple contextualisé. Une massicoteuse empile des feuilles de 0,1 mm. La hauteur de la pile après n feuilles est un = 0,1 × n (en mm). Ainsi u1 = 0,1 mm, u50 = 5 mm, u500 = 50 mm. Ici la suite est définie par une formule explicite : un = f(n) avec f(x) = 0,1x.
2. Deux façons de définir une suite
a) Forme explicite : un = f(n). Chaque terme se calcule directement à partir de son rang. Exemple : un = 3n + 2 → u10 = 3 × 10 + 2 = 32.
b) Par récurrence : un premier terme + une relation. On donne u1 (ou u0) et une règle permettant de calculer chaque terme à partir du précédent. Exemple : u1 = 200 et un+1 = un − 15. Pour obtenir u5, il faut calculer tous les termes intermédiaires.
Exemple résolu. Tarif mensuel de location d'un panneau d'affichage : u1 = 200 € le 1ᵉʳ mois, puis remise de 15 € chaque mois : un+1 = un − 15.
u2 = 200 − 15 = 185 ; u3 = 185 − 15 = 170 ; u4 = 155 ; u5 = 140 ; u6 = 125 €.
Avec un tableur : saisir 200 en A2, puis la formule =A2-15 en A3 et recopier vers le bas.
3. Sens de variation d'une suite
Définitions. Une suite (un) est :
- croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent : un+1 ≥ un pour tout n ;
- décroissante si un+1 ≤ un pour tout n ;
- constante si tous ses termes sont égaux.
Méthode — Étudier les variations. On calcule la différence un+1 − un et on étudie son signe :
- si un+1 − un ≥ 0 pour tout n → la suite est croissante ;
- si un+1 − un ≤ 0 pour tout n → la suite est décroissante.
Exemple. Pour un = 3n + 2 : un+1 − un = [3(n+1) + 2] − [3n + 2] = 3n + 3 + 2 − 3n − 2 = 3 > 0. La suite est croissante.
4. Suites arithmétiques
Définition. Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison :
un+1 = un + r pour tout n.
Propriété — Terme de rang n. Si (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u1, alors :
un = u1 + (n − 1) × r
(Si le premier terme est u0, la formule devient un = u0 + n × r.)
Exemple résolu — Production d'un atelier. Un imprimeur produit 120 affiches le 1ᵉʳ jour d'une commande, puis augmente sa cadence de 8 affiches chaque jour (réglages de plus en plus efficaces). On a u1 = 120 et r = 8.
- Production le 15ᵉ jour : u15 = u1 + 14 × r = 120 + 14 × 8 = 120 + 112 = 232 affiches.
- Vérification : il y a bien 14 hausses entre le jour 1 et le jour 15 (d'où le n − 1).
Vigilance. L'erreur classique est d'écrire un = u1 + nr. Entre le rang 1 et le rang n, il n'y a que n − 1 sauts. Contrôlez toujours avec un petit rang : u2 = u1 + r ✔.
5. Lien avec les fonctions affines
Propriété. Une suite arithmétique de raison r est de la forme un = f(n) où f est une fonction affine f(x) = rx + b. Graphiquement, les points (n ; un) sont alignés sur une droite de coefficient directeur r.
Conséquence — variations :
- si r > 0, la suite est croissante ;
- si r < 0, la suite est décroissante ;
- si r = 0, la suite est constante.
Exemple. Location du panneau : un = 200 + (n − 1)(−15) = −15n + 215. C'est une fonction affine de coefficient −15 < 0 : le tarif décroît de 15 € par mois, et les points (n ; un) sont alignés sur une droite descendante.
6. Somme des n premiers termes
Propriété. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est :
S = n × (premier terme + dernier terme) / 2
Autrement dit : S = n × (u1 + un) / 2 (nombre de termes × moyenne des extrêmes).
Exemple résolu — Production totale. Combien d'affiches l'imprimeur a-t-il produites au total pendant les 15 jours ?
- Étape 1. Nombre de termes : n = 15. Premier terme : u1 = 120. Dernier terme : u15 = 232 (calculé plus haut).
- Étape 2. S = 15 × (120 + 232) / 2 = 15 × 352 / 2 = 15 × 176 = 2 640 affiches.
- Vérification au tableur : générer les 15 termes (A2 : 120 ; A3 :
=A2+8, recopier) puis=SOMME(A2:A16)→ 2 640. ✔
Exemple — dégradé en communication visuelle. Pour un dégradé de gris en 10 étapes, on fixe le taux de noir : 5 % au premier palier puis +9 % à chaque palier. Taux du 10ᵉ palier : u10 = 5 + 9 × 9 = 86 %. La somme des taux des 10 paliers est S = 10 × (5 + 86) / 2 = 455 (utile pour estimer la consommation d'encre totale de la série).
7. Erreurs fréquentes
- Confondre le rang n et la valeur un du terme.
- Écrire un = u1 + nr au lieu de un = u1 + (n − 1)r.
- Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de u1 à un, il y a n termes ; de u0 à un, il y en a n + 1.
- Déclarer une suite arithmétique sans vérifier que toutes les différences un+1 − un sont égales (une coïncidence sur deux termes ne suffit pas).