Fonctions polynômes de degré 2
Quand le prix de vente d'une affiche augmente, le bénéfice par affiche monte… mais les ventes baissent. Le bénéfice total dessine alors une courbe en arche : une parabole. Ce chapitre apprend à lire et exploiter les fonctions polynômes de degré 2, sans discriminant : tout se fait à partir de la forme factorisée.
1. Définition et allure de la courbe
Définition. Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur ℝ par :
f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 (forme développée).
Sa courbe représentative est une parabole :
- si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (forme de « creux », ∪) : f admet un minimum ;
- si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (forme de « bosse », ∩) : f admet un maximum.
Vigilance. Pour que f soit de degré 2, il faut a ≠ 0. Si a = 0, il reste bx + c : c'est une fonction affine (droite), pas une parabole.
2. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)
Définition. Quand un polynôme de degré 2 s'annule pour deux valeurs x₁ et x₂ (appelées racines), on peut l'écrire sous forme factorisée :
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Les racines sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0 : graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.
Exemple fil rouge — bénéfice d'un atelier de sérigraphie. Un atelier vend des affiches d'art. Le bénéfice journalier (en dizaines d'euros) en fonction du prix de vente x (en €) est modélisé par :
B(x) = −(x − 10)(x − 40)
- Les racines sont x₁ = 10 et x₂ = 40 : à 10 € ou à 40 €, le bénéfice est nul (seuils de rentabilité : en dessous de 10 € on vend trop bas, au-dessus de 40 € plus personne n'achète).
- Le coefficient a = −1 est négatif : parabole tournée vers le bas, le bénéfice admet un maximum.
- Ordonnée à l'origine : B(0) = −(0 − 10)(0 − 40) = −(−10)(−40) = −400. La parabole coupe l'axe des ordonnées en −400 (à prix nul, perte liée aux coûts fixes).
Méthode — Tester si un nombre est racine. Pour savoir si un nombre α est racine de f, on calcule f(α) :
- si f(α) = 0 → α est racine ;
- si f(α) ≠ 0 → α n'est pas racine.
Exemple. 25 est-il racine de B(x) = −(x − 10)(x − 40) ? B(25) = −(25 − 10)(25 − 40) = −(15)(−15) = 225 ≠ 0 : non, 25 n'est pas racine (c'est le prix du bénéfice maximal !). Et 40 ? B(40) = −(40 − 10)(40 − 40) = −30 × 0 = 0 : oui.
Propriété — Factorisation connaissant les racines. Si un polynôme de degré 2 a pour racines x₁ et x₂, alors il s'écrit f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Pour trouver a, on utilise un point supplémentaire de la courbe (souvent l'ordonnée à l'origine).
Exemple résolu. Le bénéfice d'un autre produit s'annule pour x = 5 et x = 25, et f(0) = −50. Forme factorisée : f(x) = a(x − 5)(x − 25). On utilise f(0) = −50 : f(0) = a(−5)(−25) = 125a = −50 → a = −0,4. Donc f(x) = −0,4(x − 5)(x − 25).
3. Axe de symétrie et sommet
Propriétés. La parabole d'équation f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) admet :
- un axe de symétrie vertical d'équation x = (x₁ + x₂) / 2 (l'axe passe exactement « au milieu » des deux racines) ;
- un sommet S, situé sur cet axe : son abscisse est xS = (x₁ + x₂)/2 et son ordonnée est yS = f(xS) (on calcule l'image).
Le sommet donne le maximum (si a < 0) ou le minimum (si a > 0) de la fonction.
Exemple résolu — prix optimal. Pour B(x) = −(x − 10)(x − 40) :
- Axe de symétrie : x = (10 + 40) / 2 = x = 25.
- Sommet : xS = 25 ; yS = B(25) = −(15)(−15) = 225. S(25 ; 225).
- Conclusion métier : le prix de vente optimal est 25 € l'affiche ; le bénéfice maximal est alors 225 dizaines d'euros, soit 2 250 € par jour.
Vigilance. L'abscisse du sommet est la moyenne des racines, pas une racine ! Et pour obtenir son ordonnée, il faut calculer f(xS), pas lire xS.
4. Signe d'un polynôme de degré 2
Propriété. Pour f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ < x₂ :
- f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines (x < x₁ ou x > x₂) ;
- f(x) est du signe contraire de a entre les racines (x₁ < x < x₂) ;
- f(x) = 0 pour x = x₁ et x = x₂.
Exemple résolu — zone de rentabilité. Pour quels prix le bénéfice B(x) = −(x − 10)(x − 40) est-il positif ? Ici a = −1 < 0 : B est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.
| x | −∞ | 10 | 40 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de B(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Conclusion métier : l'atelier est bénéficiaire pour un prix de vente strictement compris entre 10 € et 40 €. En dehors, il perd de l'argent.
Méthode — Tracer l'allure d'une parabole.
- 1. Signe de a → orientation (∪ ou ∩).
- 2. Racines x₁ et x₂ → points de passage par l'axe des abscisses.
- 3. Sommet S((x₁+x₂)/2 ; f(xS)) → point le plus haut ou le plus bas.
- 4. f(0) = a·x₁·x₂ → point de passage par l'axe des ordonnées.
- 5. Tracer en respectant la symétrie.
5. Erreurs fréquentes
- Lire les racines dans la forme factorisée avec le mauvais signe : dans (x − 3)(x + 5), les racines sont 3 et −5 (car x + 5 = x − (−5)).
- Croire que le sommet a pour abscisse une racine.
- Oublier le coefficient a dans le calcul des images : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
- Inverser le tableau de signes : repartir du signe de a à l'extérieur des racines.
- Confondre « ordonnée à l'origine » f(0) et racines (abscisses où f(x) = 0).