Résolution graphique d'équations et d'inéquations
À partir de quel tirage l'impression offset devient-elle moins chère que l'impression numérique ? Ce type de question — central dans la chaîne graphique — revient à comparer deux fonctions de coût. Quand les calculs algébriques sont impossibles ou trop lourds, la lecture graphique donne la réponse.
1. Le principe : deux courbes à comparer
Définition. Soit f et g deux fonctions dont on a tracé les courbes Cf et Cg dans un même repère.
- Résoudre f(x) = g(x) revient à chercher les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
- Résoudre f(x) ≥ g(x) revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles la courbe Cf est au-dessus de Cg (ou la coupe).
- Résoudre f(x) ≤ g(x) : Cf en dessous de Cg (ou la coupe).
Vigilance. La solution d'une équation f(x) = g(x) est une valeur de x (une abscisse), pas un point ni une ordonnée. La solution d'une inéquation est un intervalle (ou une réunion d'intervalles), jamais un seul nombre.
2. Situation fil rouge : numérique ou offset ?
Mise en situation. Pour un tirage de x affiches A2 :
- impression numérique : f(x) = 0,9x + 150 (150 € de préparation, 0,90 € par affiche) ;
- impression offset : g(x) = 0,3x + 600 (600 € de calage et plaques, 0,30 € par affiche).
Questions : pour quel tirage les deux coûts sont-ils égaux ? À partir de quel tirage l'offset est-elle moins chère ?
Méthode — Résolution graphique pas à pas.
- Étape 1. Tracer les deux courbes (papier, calculatrice ou GeoGebra) sur un intervalle adapté, ici [0 ; 1 500].
- Étape 2. Repérer les points d'intersection et lire leurs abscisses. Ici, les droites se coupent en x = 750.
- Étape 3. Pour l'inéquation, regarder quelle courbe est au-dessus de l'autre de chaque côté de l'intersection. Avant 750, la droite « numérique » (f) est en dessous : f(x) ≤ g(x). Après 750, c'est l'inverse.
- Étape 4. Conclure avec une phrase métier.
Résolution complète.
- Équation f(x) = g(x) : l'unique point d'intersection a pour abscisse x = 750. Solution : S = {750}. Pour 750 affiches, les deux technologies coûtent le même prix (825 €).
- Inéquation f(x) ≥ g(x) : Cf est au-dessus de Cg pour x ≥ 750. Solution : S = [750 ; +∞[.
- Conclusion métier : en dessous de 750 affiches, choisir le numérique ; au-delà, l'offset devient plus économique. C'est le fameux seuil de rentabilité (point mort) de la décision.
Vigilance — précision. Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée (x ≈ 750). Si le point de coupe tombe entre deux graduations, on donne un encadrement (« entre 740 et 760 ») et on affine ensuite par balayage. Sur l'exemple, on peut vérifier par le calcul : 0,9 × 750 + 150 = 825 et 0,3 × 750 + 600 = 825 ✔.
3. Avec les outils numériques
GeoGebra. Saisir f(x) = 0.9x + 150 et g(x) = 0.3x + 600, puis Intersection(f, g) : le logiciel affiche le point d'intersection (750 ; 825).
Calculatrice graphique. Saisir Y1 et Y2, régler la fenêtre (Xmin = 0, Xmax = 1500), tracer, puis utiliser la fonction « intersection » du menu CALC/G-Solv.
Tableur. Construire un tableau de valeurs de f(x) et g(x) avec un pas régulier et repérer la ligne où les deux colonnes se croisent.
4. Encadrement d'une solution par balayage
Quand la solution n'est pas un nombre « rond », on l'encadre de plus en plus finement : c'est la méthode du balayage.
Méthode — Balayage.
- Étape 1. Repérer graphiquement un intervalle [a ; b] contenant la solution (courbes qui se croisent entre a et b).
- Étape 2. Calculer f(x) et g(x) de a à b avec un pas régulier (table de valeurs).
- Étape 3. Repérer entre quelles valeurs consécutives le sens de l'inégalité change (f − g change de signe) : la solution est entre ces deux valeurs.
- Étape 4. Recommencer avec un pas plus petit pour améliorer la précision.
Exemple résolu. Le coût unitaire d'une brochure en fonction du tirage x est modélisé par h(x) = x²/1000 + 1 (en €, modèle simplifié). On cherche le tirage x pour lequel le coût atteint 3 €, c'est-à-dire h(x) = 3, soit x²/1000 = 2, soit x² = 2 000.
La lecture graphique place la solution entre 44 et 45. Balayage au pas 0,1 :
| x | 44,0 | 44,5 | 44,7 | 44,8 | 45,0 |
|---|---|---|---|---|---|
| x² | 1 936 | 1 980,25 | 1 998,09 | 2 007,04 | 2 025 |
x² passe de moins de 2 000 à plus de 2 000 entre 44,7 et 44,8 : l'encadrement de la solution est 44,7 < x < 44,8. Soit, en pratique, un tirage d'environ 45 unités (on arrondit au sens métier : on ne tire pas une fraction de brochure).
5. Erreurs fréquentes
- Lire l'ordonnée du point d'intersection au lieu de l'abscisse : la solution de f(x) = g(x) est x, pas y.
- Inverser le sens de l'inéquation : bien se demander « quelle courbe est au-dessus ? ».
- Donner un nombre alors qu'on attend un intervalle (inéquation).
- Oublier les bornes : pour f(x) ≥ g(x), les points d'intersection sont inclus dans la solution (crochets fermés) ; pour f(x) > g(x), ils sont exclus.
- Donner une valeur graphique au dixième quand le graphique ne permet pas cette précision : préférer un encadrement honnête.