Vecteurs du plan

Dans un logiciel de PAO, quand on déplace un logo de 30 mm vers la droite et 12 mm vers le bas, on applique un vecteur. Dupliquer un motif avec un décalage régulier, aligner des éléments, mesurer une distance sur une maquette : tout cela s'écrit avec les vecteurs.

1. Vecteur : direction, sens, norme

Définition. Un vecteur est défini par trois caractéristiques :

une direction (celle de la droite qui le porte) ;
un sens (de l'origine vers l'extrémité, indiqué par la flèche) ;
une norme (sa longueur, notée ‖u⃗‖).

Le vecteur d'origine A et d'extrémité B se note AB→. Un représentant d'un vecteur u⃗ est un couple de points (A ; B) tel que AB→ = u⃗ : un même vecteur possède une infinité de représentants, tous parallèles, de même sens et de même longueur.

Exemple métier. Sur une maquette, on décale un pictogramme de +30 mm en x et −12 mm en y. Ce déplacement est le vecteur u⃗(30 ; −12). Appliqué à n'importe quel objet de la page, c'est le même vecteur : mêmes direction, sens et norme, seul le point de départ change. C'est exactement la commande « déplacer de » des logiciels de PAO.

2. Vecteurs égaux, opposés, colinéaires

Définitions.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. AB→ = CD→ ⇔ ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres).
Deux vecteurs sont opposés s'ils ont même direction, même norme et des sens contraires : on note v⃗ = −u⃗. En particulier BA→ = −AB→.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'ils ont la même direction (sens identiques ou opposés) : il existe alors un réel k tel que v⃗ = k u⃗. Par convention, le vecteur nul 0⃗ est colinéaire à tout vecteur.

Vigilance. « Même direction » ne suffit pas pour l'égalité : deux vecteurs colinéaires peuvent avoir des sens opposés ou des normes différentes. En PAO : deux flèches parallèles de longueurs différentes ne codent pas le même déplacement.

3. Somme de vecteurs et produit par un réel

Somme de deux vecteurs construite par le parallélogramme sur quadrillage — La somme u⃗ + v⃗ se construit « bout à bout » : c'est la diagonale du parallélogramme.

Relation de Chasles. Pour trois points A, B, C quelconques : AB→ + BC→ = AC→. Graphiquement, on place les vecteurs « bout à bout ».

Règle du parallélogramme. Si u⃗ = AB→ et v⃗ = AC→ partent du même point, alors u⃗ + v⃗ = AD→ où ABDC est le parallélogramme construit sur ces deux côtés.

Produit par un réel. Pour k réel, k u⃗ est le vecteur de même direction que u⃗, de même sens si k > 0 (sens contraire si k < 0), et de norme |k| × ‖u⃗‖.

Exemple — duplication décalée. Pour une frise, un graphiste duplique un motif avec le décalage u⃗(15 ; 0) mm. Après 4 duplications, le dernier motif est décalé de 4u⃗ = (60 ; 0) mm par rapport à l'original. Si un élément est déplacé de A vers B puis de B vers C, le déplacement total est AB→ + BC→ = AC→ (Chasles) : inutile de repasser par la position intermédiaire.

4. Coordonnées dans un repère orthogonal

Définitions. Dans un repère orthogonal (O ; i⃗, j⃗), tout vecteur u⃗ s'écrit u⃗ = x i⃗ + y j⃗ : le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de u⃗ (déplacement horizontal puis vertical).

Coordonnées de AB→ : si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors :

AB→ (x_B − x_A ; y_B − y_A) (« arrivée − départ »).

Calculs avec les coordonnées. Si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′) :

u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′) ;
k u⃗ a pour coordonnées (kx ; ky) ;
u⃗ et v⃗ sont colinéaires ⇔ xy′ − x′y = 0 (déterminant nul) ;
en repère orthonormé : ‖u⃗‖ = √(x² + y²) (théorème de Pythagore).

Exemple résolu — mesures sur une maquette. Sur une maquette au repère orthonormé (unité : mm), un élément passe de A(20 ; 50) à B(80 ; 30).

Coordonnées du déplacement : AB→ (80 − 20 ; 30 − 50) = (60 ; −20).
Distance parcourue (norme) : ‖AB→‖ = √(60² + (−20)²) = √(3 600 + 400) = √4 000 = 20√10 ≈ 63,2 mm.

Exemple — alignement de tracés. Deux bords d'impression sont portés par u⃗(4 ; −6) et v⃗(−6 ; 9). Sont-ils parallèles ? Déterminant : 4 × 9 − (−6) × (−6) = 36 − 36 = 0 : les vecteurs sont colinéaires (v⃗ = −1,5 u⃗) : les deux bords sont bien parallèles.

Vigilance.

La norme ‖u⃗‖ = √(x² + y²) exige un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité sur les deux axes). Sur une maquette en mm × mm : OK ; avec des échelles différentes : formule interdite.
Pour la colinéarité, la condition est xy′ − x′y = 0 ; ne pas écrire « x/x′ = y/y′ » (problème si une coordonnée est nulle).
Coordonnées de AB→ : c'est B − A, pas A − B (sinon on obtient l'opposé).

5. Erreurs fréquentes