1. Équations du premier degré
Au quotidien, un vendeur résout des « équations » sans le savoir : « quel était le prix avant la remise ? », « combien d'articles peut-on acheter avec ce budget ? ». Ce module donne les outils pour le faire rigoureusement.
Définition. Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui peut se ramener à la forme ax + b = 0 (avec a ≠ 0). La solution est la valeur de x qui rend l'égalité vraie.
Règles de résolution. On transforme l'équation en effectuant la même opération sur les deux membres :
• ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ;
• multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
But : isoler x d'un côté du signe =.
• ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ;
• multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
But : isoler x d'un côté du signe =.
Exemple résolu pas à pas. Un client paie 4 articles identiques avec un bon d'achat de 15 € et ajoute 53 €. Prix d'un article : x.
Équation : 4x − 15 = 53
4x = 53 + 15 (on ajoute 15 aux deux membres)
4x = 68
x = 68 ÷ 4 = 17 (on divise par 4)
Vérification : 4 × 17 − 15 = 68 − 15 = 53 ✔. Un article coûte 17 €.
Équation : 4x − 15 = 53
4x = 53 + 15 (on ajoute 15 aux deux membres)
4x = 68
x = 68 ÷ 4 = 17 (on divise par 4)
Vérification : 4 × 17 − 15 = 68 − 15 = 53 ✔. Un article coûte 17 €.
Toujours vérifier ! Remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation de départ : si l'égalité est vraie, la solution est correcte. En contexte magasin, vérifier aussi le bon sens : un prix négatif ou un nombre d'articles à virgule signalent une erreur.
2. Intervalles de ℝ
Définition. Un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux bornes.
• Crochet fermé [a ; b] : la borne est incluse (≤ ou ≥).
• Crochet ouvert ]a ; b[ : la borne est exclue (< ou >).
• Avec +∞ ou −∞, le crochet est toujours ouvert : [50 ; +∞[ signifie x ≥ 50.
• Crochet fermé [a ; b] : la borne est incluse (≤ ou ≥).
• Crochet ouvert ]a ; b[ : la borne est exclue (< ou >).
• Avec +∞ ou −∞, le crochet est toujours ouvert : [50 ; +∞[ signifie x ≥ 50.
Exemples en contexte magasin.
• « Livraison offerte dès 80 € d'achat » : x ≥ 80 → [80 ; +∞[.
• « Réduction pour les moins de 26 ans » : âge < 26 → [0 ; 26[.
• « Offre valable pour un panier entre 20 € et 50 € inclus » : [20 ; 50].
• « Livraison offerte dès 80 € d'achat » : x ≥ 80 → [80 ; +∞[.
• « Réduction pour les moins de 26 ans » : âge < 26 → [0 ; 26[.
• « Offre valable pour un panier entre 20 € et 50 € inclus » : [20 ; 50].
3. Inéquations du premier degré
Définition. Une inéquation est comme une équation, mais le signe = est remplacé par <, >, ≤ ou ≥. L'ensemble des solutions est en général un intervalle.
Règles de résolution. On utilise les mêmes règles que pour les équations, avec une différence capitale :
• ajouter/soustraire un même nombre : le sens de l'inégalité ne change pas ;
• multiplier/diviser par un nombre positif : le sens ne change pas ;
• multiplier/diviser par un nombre négatif : le sens change (< devient >, ≤ devient ≥).
• ajouter/soustraire un même nombre : le sens de l'inégalité ne change pas ;
• multiplier/diviser par un nombre positif : le sens ne change pas ;
• multiplier/diviser par un nombre négatif : le sens change (< devient >, ≤ devient ≥).
Exemple 1. Budget client : « je peux dépenser au plus 120 €, chaque article coûte 15 €, frais de port 6 € ». Combien d'articles au maximum ?
Inéquation : 15x + 6 ≤ 120
15x ≤ 114 (on soustrait 6)
x ≤ 114 ÷ 15 = 7,6 (on divise par 15, positif : sens inchangé)
Solutions : ]−∞ ; 7,6]. Comme x est un nombre entier d'articles, le client peut acheter au maximum 7 articles.
Inéquation : 15x + 6 ≤ 120
15x ≤ 114 (on soustrait 6)
x ≤ 114 ÷ 15 = 7,6 (on divise par 15, positif : sens inchangé)
Solutions : ]−∞ ; 7,6]. Comme x est un nombre entier d'articles, le client peut acheter au maximum 7 articles.
Exemple 2 (changement de sens). −4x < 20
x > 20 ÷ (−4) (division par −4 : on change le sens)
x > −5, soit l'intervalle ]−5 ; +∞[.
x > 20 ÷ (−4) (division par −4 : on change le sens)
x > −5, soit l'intervalle ]−5 ; +∞[.
4. Résolution graphique
Résoudre graphiquement avec un outil numérique (calculatrice, GeoGebra, tableur).
1. Équation f(x) = g(x) : tracer les deux courbes ; les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
2. Inéquation f(x) < g(x) : repérer où la courbe de f est en dessous de celle de g ; lire les valeurs de x correspondantes et écrire l'intervalle.
3. Vérifier la cohérence avec la résolution algébrique.
1. Équation f(x) = g(x) : tracer les deux courbes ; les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
2. Inéquation f(x) < g(x) : repérer où la courbe de f est en dessous de celle de g ; lire les valeurs de x correspondantes et écrire l'intervalle.
3. Vérifier la cohérence avec la résolution algébrique.
5. Mettre un problème en équation
Méthode en 5 étapes.
1. Choisir l'inconnue : nommer x ce que l'on cherche (« soit x le prix initial en € »).
2. Traduire chaque information de l'énoncé en expression littérale (remise de 20 % → 0,80x ; « 3 articles et 5 € de frais » → 3x + 5).
3. Écrire l'équation ou l'inéquation à partir de la relation donnée (total, budget, égalité de tarifs…).
4. Résoudre par les règles vues ci-dessus.
5. Conclure par une phrase avec l'unité et vérifier la solution dans l'énoncé.
1. Choisir l'inconnue : nommer x ce que l'on cherche (« soit x le prix initial en € »).
2. Traduire chaque information de l'énoncé en expression littérale (remise de 20 % → 0,80x ; « 3 articles et 5 € de frais » → 3x + 5).
3. Écrire l'équation ou l'inéquation à partir de la relation donnée (total, budget, égalité de tarifs…).
4. Résoudre par les règles vues ci-dessus.
5. Conclure par une phrase avec l'unité et vérifier la solution dans l'énoncé.
Exemple complet. Deux enseignes proposent : A : abonnement 20 € + 2 € par location ; B : 4 € par location sans abonnement. Pour combien de locations A devient-elle plus avantageuse ?
1. x = nombre de locations. 2. Coût A = 2x + 20 ; coût B = 4x.
3. A moins cher que B : 2x + 20 < 4x.
4. 20 < 2x ⇔ x > 10.
5. Conclusion : l'enseigne A est plus avantageuse à partir de 11 locations (x entier). Vérification pour x = 11 : A = 42 €, B = 44 € ✔.
1. x = nombre de locations. 2. Coût A = 2x + 20 ; coût B = 4x.
3. A moins cher que B : 2x + 20 < 4x.
4. 20 < 2x ⇔ x > 10.
5. Conclusion : l'enseigne A est plus avantageuse à partir de 11 locations (x entier). Vérification pour x = 11 : A = 42 €, B = 44 € ✔.
Erreurs fréquentes à éviter.
• Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif.
• Fermer le crochet du côté de +∞ ou −∞ : toujours ouvert !
• Confondre borne incluse (≤, crochet fermé [) et exclue (<, crochet ouvert ]).
• Donner une solution décimale pour un nombre d'articles : il faut trancher avec un entier (7 articles, pas 7,6).
• Oublier l'étape « vérification » : elle prend 10 secondes et évite bien des erreurs.
• Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif.
• Fermer le crochet du côté de +∞ ou −∞ : toujours ouvert !
• Confondre borne incluse (≤, crochet fermé [) et exclue (<, crochet ouvert ]).
• Donner une solution décimale pour un nombre d'articles : il faut trancher avec un entier (7 articles, pas 7,6).
• Oublier l'étape « vérification » : elle prend 10 secondes et évite bien des erreurs.