1. Fonctions exponentielles de base q
Au chapitre 3, une évolution à taux fixe se modélisait par une suite géométrique u(n) = qn, définie seulement pour les rangs entiers. Que se passe-t-il « entre » deux années, ou pour des durées non entières ? On prolonge la formule à tous les réels positifs, puis à tous les réels.
Définition. Soit q un nombre réel strictement positif et différent de 1. La fonction exponentielle de base q est définie sur ℝ par f(x) = qx. Elle prolonge, à des valeurs non entières, la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q. Pour x négatif, on pose q−x = 1 / qx. Valeurs repères : q0 = 1 et q1 = q.
Variations (admises après conjecture à l'aide d'outils numériques).
| Base q | Sens de variation | Allure de la courbe |
|---|---|---|
| q > 1 | Strictement croissante sur ℝ | Monte de plus en plus vite vers +∞ ; proche de 0 pour x très négatif |
| 0 < q < 1 | Strictement décroissante sur ℝ | Descend en s'écrasant vers 0 ; très grande pour x très négatif |
Dans tous les cas, qx > 0 : la courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses et passe par le point (0 ; 1).
Propriétés opératoires (conséquences des propriétés des puissances) : pour tous réels a et b :
- qa + b = qa × qb
- qa − b = qa / qb
- (qa)b = qa × b
- q−a = 1 / qa
Exemple. Le chiffre d'affaires d'une enseigne (en milliers d'euros) est modélisé par f(x) = 80 × 1,06x, où x est le temps écoulé en années. Estimation au bout de 2 ans et demi : f(2,5) = 80 × 1,062,5 = 80 × 1,1569 ≈ 92,6 milliers d'euros. La fonction exponentielle permet ce calcul « entre » les années, ce que la suite géométrique seule ne permettait pas.
2. Le logarithme décimal
Question inverse : « au bout de combien de temps le chiffre d'affaires aura-t-il doublé ? » revient à résoudre 1,06x = 2. Il faut un nouvel outil qui « défasse » la puissance.
Définition. La fonction x ↦ 10x est strictement croissante : pour tout réel b strictement positif, l'équation 10x = b admet une unique solution. Cette solution s'appelle le logarithme décimal de b, noté log(b).
Autrement dit : 10x = b équivaut à x = log(b) (pour b > 0). On en déduit immédiatement log(10x) = x et 10log(b) = b.
Valeurs remarquables et variations.
- log(1) = 0 (car 100 = 1) ; log(10) = 1 ; log(100) = 2 ; log(1 000) = 3.
- log(0,1) = −1 ; log(0,01) = −2.
- La fonction log est définie sur ]0 ; +∞[, strictement croissante : elle « comprime » les grands nombres (log(1 000 000) = 6 seulement).
Propriétés opératoires du logarithme décimal (pour a > 0, b > 0) :
- log(a × b) = log(a) + log(b) — le log transforme les produits en sommes ;
- log(a / b) = log(a) − log(b) ;
- log(an) = n × log(a) — le log « fait descendre » l'exposant ;
- log(1/a) = −log(a).
Exemple résolu. Simplifier log(50) + log(2) : log(50) + log(2) = log(50 × 2) = log(100) = 2. Autre : log(2 000) = log(2 × 1 000) = log(2) + 3 ≈ 0,301 + 3 = 3,301.
3. Résoudre les équations et inéquations q^x = a et log(x) = a
Méthode — résoudre qx = a (avec a > 0).
- Étape 1. Prendre le logarithme décimal des deux membres : log(qx) = log(a).
- Étape 2. Faire descendre l'exposant : x × log(q) = log(a).
- Étape 3. Conclure : x = log(a) / log(q).
Pour une inéquation qx ≥ a : si q > 1, le sens est conservé (x ≥ log(a)/log(q)) ; si 0 < q < 1, log(q) < 0, donc la division par log(q) change le sens de l'inégalité. Graphiquement ou à la calculatrice, on peut aussi lire l'abscisse du point d'intersection des courbes y = qx et y = a, ou procéder par balayage.
Exemple résolu pas à pas. Un placement à 3 % par an : au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? On résout 1,03x = 2 :
x = log(2) / log(1,03) = 0,30103 / 0,01284 ≈ 23,45.
Le capital double au bout d'environ 23,45 ans, donc 24 années entières sont nécessaires (1,0323 ≈ 1,974 < 2 ; 1,0324 ≈ 2,033 ≥ 2).
Autre exemple — équation log(x) = a. Résoudre log(x) = 2,5 : par définition, x = 102,5 ≈ 316,23. Et log(x) ≤ 3 équivaut à x ≤ 103 = 1 000 (avec x > 0), car le log est croissant.
4. Le papier semi-logarithmique
Présentation. Sur une feuille semi-logarithmique, l'axe des abscisses est gradué normalement, mais l'axe des ordonnées est gradué en échelle logarithmique : les graduations 1 ; 10 ; 100 ; 1 000 sont également espacées (un même écart pour chaque « module » multiplicatif ×10).
Propriété. Si y = a × bx (évolution à taux fixe), alors log(y) = x × log(b) + log(a) : le nuage (x ; y) tracé sur papier semi-logarithmique est aligné. Réciproquement, un nuage aligné sur ce papier révèle un phénomène exponentiel. La pente de la droite permet de retrouver b : b = 10pente.
Exemple. On reporte le nombre de vues d'une vidéo promotionnelle, relevé chaque jour, sur papier semi-logarithmique : les points sont quasiment alignés sur une droite de pente 0,2. Le nombre de vues est donc multiplié chaque jour par 100,2 ≈ 1,58 : une hausse d'environ 58 % par jour. Ce support est très utilisé pour les phénomènes de croissance rapide (ventes d'un produit viral, propagation d'un avis en ligne).
5. Erreurs fréquentes
- Écrire log(a × b) = log(a) × log(b) : c'est faux ; le log transforme le produit en SOMME.
- Chercher log d'un nombre négatif ou nul : log n'est défini que sur ]0 ; +∞[.
- Oublier de diviser par log(q) dans qx = a : la solution est x = log(a) / log(q), pas log(a).
- Conserver le sens de l'inégalité en divisant par log(q) quand 0 < q < 1 : log(q) est négatif, il faut inverser le sens.
- Confondre log et ln sur la calculatrice : au lycée professionnel, on utilise le logarithme décimal (touche LOG) : log(10) = 1.
- Lire mal le papier semi-logarithmique : entre 10 et 100, la graduation médiane n'est pas 55 ; les graduations intermédiaires sont 20, 30, 40… en progression géométrique.