Statistique à deux variables quantitatives
Dans un atelier de communication visuelle, on mesure souvent deux grandeurs à la fois : le nombre d'affiches imprimées et le coût total de production, la résolution d'une image et le poids du fichier, le temps passé sur une maquette et le montant facturé. L'objectif de ce chapitre est d'étudier le lien entre ces deux grandeurs et de s'en servir pour faire des prévisions.
1. Série statistique à deux variables et nuage de points
Définition — Série à deux variables. Sur une même population, on relève deux caractères quantitatifs x et y. On obtient une série de couples (xi ; yi).
Définition — Nuage de points. Dans un repère, on place les points Mi(xi ; yi). L'ensemble de ces points s'appelle le nuage de points de la série.
Exemple contextualisé. Une imprimerie numérique de Cahors relève, pour six commandes d'affiches A3, le nombre d'exemplaires x et le coût total de production y (en €) :
| Tirage x (affiches) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coût y (€) | 92 | 148 | 193 | 250 | 296 | 344 |
Le nuage est formé des 6 points (50 ; 92), (100 ; 148), …, (300 ; 344). Ces points sont presque alignés : on dit que le nuage a une forme allongée, ce qui suggère un lien affine entre le tirage et le coût.
2. Le point moyen G
Définition. Le point moyen du nuage est le point G de coordonnées :
x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n et ȳ = (y1 + y2 + … + yn) / n
Autrement dit : G est le point dont l'abscisse est la moyenne des xi et l'ordonnée la moyenne des yi. On note G(x̄ ; ȳ).
Exemple (suite). Pour la série de l'imprimerie :
x̄ = (50 + 100 + 150 + 200 + 250 + 300) / 6 = 1 050 / 6 = 175
ȳ = (92 + 148 + 193 + 250 + 296 + 344) / 6 = 1 323 / 6 = 220,5
Le point moyen est G(175 ; 220,5). Il représente en quelque sorte la « commande moyenne » : 175 affiches pour 220,50 €.
3. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
Quand le nuage est allongé, on cherche une droite qui « passe au plus près » de tous les points. Cette droite servira ensuite de modèle pour prévoir des coûts.
Définition. La droite d'ajustement par les moindres carrés de y en x est la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite. Son équation réduite s'écrit y = ax + b.
Propriétés à connaître.
- La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ).
- Le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b sont calculés par la calculatrice, le tableur (courbe de tendance) ou GeoGebra : on ne les calcule pas « à la main » au lycée professionnel, mais on sait les interpréter.
- a représente la variation de y quand x augmente de 1 unité.
Méthode — Obtenir l'équation de la droite avec un tableur.
- Étape 1. Saisir les valeurs de x en colonne A et celles de y en colonne B.
- Étape 2. Sélectionner les données, insérer un graphique de type « nuage de points » (XY).
- Étape 3. Ajouter une « courbe de tendance » linéaire, cocher « Afficher l'équation » et « Afficher R² ».
- Étape 4. Lire l'équation y = ax + b et arrondir a et b de façon raisonnable.
À la calculatrice : saisir les listes dans le menu Statistiques, puis « régression linéaire » (aX+b ou LinReg) : la machine donne a, b et souvent R ou R².
Exemple résolu (suite). Le tableur donne pour la série de l'imprimerie :
y ≈ 1,006 x + 44,4 avec R² ≈ 0,999
Vérification du passage par G : 1,006 × 175 + 44,4 = 176,05 + 44,4 = 220,45 ≈ 220,5 = ȳ. ✔
Interprétation métier : le coefficient 1,006 signifie qu'une affiche supplémentaire coûte environ 1,01 € (coût unitaire marginal : papier, encre). Le terme 44,4 correspond à environ 44 € de coûts fixes (calage machine, préparation du fichier, impression des premières passes).
Vigilance. Une équation affichée par le tableur doit être recopiée avec le bon nombre de chiffres : inutile d'écrire a = 1,006285714 ! En pratique, on arrondit (ici a ≈ 1,006 ou 1,01 ; b ≈ 44,4). Vérifier aussi que la droite passe par G : c'est un moyen simple de contrôler sa saisie.
4. Interpolation, extrapolation et prévision
Définitions.
- Interpolation : estimer une valeur de y pour une valeur de x située à l'intérieur de la plage des données observées. C'est une prévision généralement fiable.
- Extrapolation : estimer une valeur de y pour une valeur de x située à l'extérieur de la plage observée. C'est une prévision risquée : le modèle peut ne plus être valable.
Exemple résolu. Un client demande un devis pour 400 affiches. On utilise le modèle y = 1,006x + 44,4 :
y = 1,006 × 400 + 44,4 = 402,4 + 44,4 = 446,8 €.
Comme 400 est en dehors de la plage observée [50 ; 300], il s'agit d'une extrapolation : l'estimation est raisonnable mais pas garantie (au-delà d'un certain tirage, l'atelier peut par exemple obtenir un tarif papier dégressif, ou devoir faire tourner une seconde machine).
Pour un tirage de 180 affiches (interpolation, car 180 ∈ [50 ; 300]) : y = 1,006 × 180 + 44,4 = 181,08 + 44,4 ≈ 225,5 €, estimation plus fiable.
5. Le coefficient de détermination R²
Définition. Le coefficient de détermination R² est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la qualité de l'ajustement.
- R² proche de 1 : les points sont proches de la droite → l'ajustement affine est pertinent.
- R² proche de 0 : les points sont très dispersés → l'ajustement affine n'a pas de sens.
Repère professionnel : R² ≥ 0,95 indique en général un très bon ajustement ; R² < 0,8 invite à la prudence.
Exemple. Pour la série de l'imprimerie, R² ≈ 0,999 : l'ajustement est excellent, le devis basé sur la droite est fiable (dans la plage observée).
Autre situation : un graphiste web relève le temps de chargement d'une page en fonction du nombre d'images et trouve R² = 0,42. Les points sont dispersés : d'autres facteurs (poids des images, scripts, hébergement) perturbent le lien. L'ajustement affine ne permet pas de prévision sérieuse.
6. Corrélation n'est pas causalité
Vigilance essentielle. Même avec R² très proche de 1, un ajustement affine ne prouve pas que la variation de x provoque la variation de y. On parle de corrélation, pas de causalité.
Exemple. Une agence constate une excellente corrélation (R² = 0,97) entre le nombre de jours de canicule et le nombre de panneaux d'affichage décollés chaque été. La chaleur n'est pas directement la cause : c'est une troisième variable (le soleil qui fragilise les colles, et les affiches anciennes posées en été) qui explique les deux phénomènes. Avant de conclure à un lien de cause à effet, il faut une analyse métier (ici : la colle utilisée, l'âge des affiches), pas seulement un calcul.
7. Erreurs fréquentes
- Inverser x et y dans le tableur : la droite « y en x » sert à prévoir y à partir de x. Choisir la variable explicative (souvent celle qu'on contrôle : le tirage, la résolution) en abscisse.
- Oublier de vérifier R² avant d'utiliser la droite pour une prévision.
- Extrapoler sans précaution : un devis pour 5 000 affiches basé sur des données allant jusqu'à 300 est un pari, pas un calcul fiable.
- Confondre R et R² : la calculatrice affiche parfois le coefficient de corrélation r (entre −1 et 1) ; R² = r² est toujours positif.
- Conclure à une causalité à partir d'une simple corrélation.