1. Les intérêts simples
Un magasin qui place sa trésorerie (ou un particulier qui épargne) prête de l'argent : il reçoit en échange des intérêts. Le placement le plus simple est le placement à intérêts simples : chaque période, les intérêts sont calculés sur le capital de départ, toujours le même montant.
Définitions.
• Le capital initial c₀ est la somme placée au départ (ex. : 5 000 €).
• Le taux t est le pourcentage d'intérêt par période, écrit en décimal (ex. : 4 % = 0,04).
• Les intérêts versés par période valent c₀ × t.
• Le capital initial c₀ est la somme placée au départ (ex. : 5 000 €).
• Le taux t est le pourcentage d'intérêt par période, écrit en décimal (ex. : 4 % = 0,04).
• Les intérêts versés par période valent c₀ × t.
Capital après n périodes (intérêts simples).
c(n) = c₀ × (1 + t × n)
Les capitaux successifs forment une suite arithmétique de premier terme c₀ et de raison c₀ × t : chaque période ajoute le même montant.
c(n) = c₀ × (1 + t × n)
Les capitaux successifs forment une suite arithmétique de premier terme c₀ et de raison c₀ × t : chaque période ajoute le même montant.
Exemple. Un magasin place 5 000 € à intérêts simples, taux annuel 4 %.
Intérêts par an : 5 000 × 0,04 = 200 €.
Après 3 ans : c(3) = 5 000 × (1 + 0,04 × 3) = 5 000 × 1,12 = 5 600 €.
Intérêts par an : 5 000 × 0,04 = 200 €.
Après 3 ans : c(3) = 5 000 × (1 + 0,04 × 3) = 5 000 × 1,12 = 5 600 €.
2. Les taux proportionnels
Quand la période de calcul n'est pas l'année, on utilise le taux proportionnel : on divise le taux annuel par le nombre de périodes dans l'année.
Taux proportionnels usuels.
• Taux mensuel : t(mensuel) = t(annuel) ÷ 12
• Taux par quinzaine : t(quinzaine) = t(annuel) ÷ 24
• Taux journalier : t(journalier) = t(annuel) ÷ 360 (année commerciale)
• Taux mensuel : t(mensuel) = t(annuel) ÷ 12
• Taux par quinzaine : t(quinzaine) = t(annuel) ÷ 24
• Taux journalier : t(journalier) = t(annuel) ÷ 360 (année commerciale)
Exemple. Taux annuel 6 % → taux mensuel proportionnel : 6 % ÷ 12 = 0,5 % par mois. Un capital de 2 000 € placé 5 mois à intérêts simples rapporte : 2 000 × 0,005 × 5 = 50 €.
Attention. Les taux proportionnels servent aux intérêts SIMPLES. Pour les intérêts composés (vus en terminale), on ne divise pas : on utilise le taux équivalent.
3. Coût total, résultat, coût moyen
Définitions. Pour une production de x unités :
• Le coût total C(x) est la dépense complète pour produire x unités (matière, main-d'œuvre, énergie…).
• La recette R(x) est la somme encaissée par la vente des x unités.
• Le résultat est R(x) − C(x) : bénéfice s'il est positif, perte s'il est négatif.
• Le coût moyen unitaire est C(x) ÷ x : le coût de production d'une unité.
• Le coût total C(x) est la dépense complète pour produire x unités (matière, main-d'œuvre, énergie…).
• La recette R(x) est la somme encaissée par la vente des x unités.
• Le résultat est R(x) − C(x) : bénéfice s'il est positif, perte s'il est négatif.
• Le coût moyen unitaire est C(x) ÷ x : le coût de production d'une unité.
Exemple. Un atelier produit des tote-bags : C(x) = 500 + 4x (en €, x en sacs). Prix de vente : 9 € le sac, donc R(x) = 9x.
• Coût de 200 sacs : C(200) = 500 + 800 = 1 300 €.
• Coût moyen : 1 300 ÷ 200 = 6,50 € par sac.
• Résultat pour 200 sacs : R(200) − C(200) = 1 800 − 1 300 = 500 € de bénéfice.
• Coût de 200 sacs : C(200) = 500 + 800 = 1 300 €.
• Coût moyen : 1 300 ÷ 200 = 6,50 € par sac.
• Résultat pour 200 sacs : R(200) − C(200) = 1 800 − 1 300 = 500 € de bénéfice.
4. Le coût marginal
Définition. Le coût marginal Cm(x) est le supplément de coût pour produire une unité de plus :
Cm(x) = C(x + 1) − C(x)
Cm(x) = C(x + 1) − C(x)
Lien avec la dérivée. Pour des productions importantes, le coût marginal peut être approché par la dérivée : Cm(x) ≈ C′(x).
Exemple. Avec C(x) = 500 + 4x + 0,01x² :
• Exact : Cm(200) = C(201) − C(200) = (500 + 804 + 404,01) − (500 + 800 + 400) = 8,01 €.
• Approché : C′(x) = 4 + 0,02x, donc C′(200) = 8 € — très proche.
Produire le 201ᵉ sac coûte environ 8 € : en dessous du prix de vente (9 €), la production reste rentable.
• Exact : Cm(200) = C(201) − C(200) = (500 + 804 + 404,01) − (500 + 800 + 400) = 8,01 €.
• Approché : C′(x) = 4 + 0,02x, donc C′(200) = 8 € — très proche.
Produire le 201ᵉ sac coûte environ 8 € : en dessous du prix de vente (9 €), la production reste rentable.
En pratique. Le coût marginal répond à la question : « faut-il produire une unité de plus ? » On la produit si le prix de vente dépasse le coût marginal.