Fonction dérivée et étude des variations
À quelle vitesse le coût d'impression augmente-t-il quand on ajoute des exemplaires ? Pour quel tirage le coût moyen d'une brochure est-il minimal ? Ces questions de variation et d'optimisation se traitent avec un nouvel outil : la dérivation.
1. Des sécantes à la tangente
Définition (approche graphique). Soit C la courbe d'une fonction f et A un point de C d'abscisse a. On prend un second point M de C d'abscisse a + h (h proche de 0). La droite (AM) est une sécante à la courbe.
Quand M se rapproche de A (h tend vers 0), la sécante (AM) pivote et se rapproche d'une droite « limite » qui effleure la courbe en A : c'est la tangente à C au point A.
Propriété — taux d'accroissement. Le coefficient directeur de la sécante (AM) est :
(f(a + h) − f(a)) / h (taux d'accroissement de f entre a et a + h).
Quand h tend vers 0, ce taux tend vers un nombre appelé nombre dérivé de f en a, noté f′(a).
Définition. Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)). Interprétations :
- Graphique : pente de la tangente (de combien on monte quand on avance de 1 le long de la tangente) ;
- Métier : vitesse instantanée de variation — par exemple le coût marginal : coût approximatif d'un exemplaire supplémentaire.
Exemple — lecture graphique. Sur la courbe du coût d'impression, la tangente au point d'abscisse a = 100 passe par (100 ; 350) et (200 ; 390). Son coefficient directeur est (390 − 350)/(200 − 100) = 40/100 = 0,4 : donc f′(100) = 0,4. Autour du tirage 100, chaque affiche supplémentaire coûte environ 0,40 €.
2. Équation réduite de la tangente
Propriété. La tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) a pour équation réduite :
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Méthode — Déterminer l'équation d'une tangente.
- 1. Calculer f(a) (le point de tangence est sur la courbe).
- 2. Calculer la dérivée f′(x) puis f′(a) (la pente).
- 3. Écrire y = f′(a)(x − a) + f(a) et développer.
Exemple résolu. La surface d'encre déposée (en cm²) en fonction du temps est modélisée par f(x) = x². Tangente en a = 3 :
- f(3) = 3² = 9 ;
- f′(x) = 2x (voir §3), donc f′(3) = 6 ;
- Tangente : y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9 = y = 6x − 9.
Vérification : en x = 3, la tangente vaut 6 × 3 − 9 = 9 = f(3) ✔ (elle passe bien par le point de tangence).
3. Fonction dérivée et formules de dérivation
Définition. Si f admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle, la fonction qui à x associe f′(x) s'appelle la fonction dérivée de f, notée f′.
Dérivées des fonctions de référence (à connaître).
| Fonction f(x) | Dérivée f′(x) | Remarque |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | une constante ne varie pas |
| ax + b (affine) | a | la pente de la droite |
| x² (carré) | 2x | |
| 1/x (inverse, x ≠ 0) | −1/x² | toujours négative |
Règles d'opération.
- Produit par une constante : (k × u)′ = k × u′. Exemple : (3x²)′ = 3 × 2x = 6x.
- Somme : (u + v)′ = u′ + v′. On dérive terme à terme.
Exemple résolu — coût total d'impression. C(x) = 0,01x² + 2x + 500 (coût en € pour x affiches). On dérive terme à terme :
- (0,01x²)′ = 0,01 × 2x = 0,02x ;
- (2x)′ = 2 ;
- (500)′ = 0 ;
- donc C′(x) = 0,02x + 2.
Interprétation (coût marginal) : C′(100) = 0,02 × 100 + 2 = 4 : autour de 100 affiches, la 101ᵉ affiche coûte environ 4 € (calage, surconsommation machine). C′(400) = 10 : à 400 affiches, un exemplaire de plus coûte 10 €.
Vigilance. La dérivée d'une constante est 0 (elle ne varie pas) : (500)′ = 0 et non 500. Et (x²)′ = 2x, pas x² ni 2.
4. Lien entre le signe de f′ et les variations de f
Propriété fondamentale. Soit f dérivable sur un intervalle I.
- Si f′(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f′(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
- Si f′(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Image mentale : la dérivée est la pente des tangentes ; des tangentes qui « montent » signalent une fonction croissante.
Propriété — extremum. Si f′ s'annule en changeant de signe en un point x₀, alors f admet un extremum local en x₀ :
- f′ passe de + à − → maximum local ;
- f′ passe de − à + → minimum local.
Si cet extremum est la plus grande (ou plus petite) valeur sur tout l'intervalle étudié, c'est un extremum global.
5. Tableau de variations d'un polynôme de degré ≤ 2
Exemple résolu — bénéfice. Le bénéfice d'un atelier (en €) est B(x) = −2x² + 60x − 250 pour x ∈ [0 ; 30] (x = prix de vente d'un produit dérivé, en dizaines d'euros… modèle pédagogique).
- Étape 1. Dériver : B′(x) = −2 × 2x + 60 = −4x + 60.
- Étape 2. Signe de B′ : B′(x) = 0 ⇔ x = 15 ; B′(x) > 0 pour x < 15 ; B′(x) < 0 pour x > 15.
- Étape 3. Tableau de variations : B croît sur [0 ; 15], décroît sur [15 ; 30]. Maximum en x = 15 : B(15) = −2 × 225 + 900 − 250 = 200.
- Conclusion métier : bénéfice maximal de 200 € atteint pour x = 15. (On retrouve le sommet de la parabole : cohérent avec le module 5 !)
6. La fonction inverse
Définition. La fonction inverse est définie pour x ≠ 0 par f(x) = 1/x. Sa courbe est une hyperbole, formée de deux branches symétriques par rapport à l'origine.
- Dérivée : f′(x) = −1/x², toujours négative (un carré est positif).
- Variations : f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. Attention : on ne peut pas dire « décroissante sur ℝ* » globalement — les deux branches sont séparées (par exemple 1/(−1) = −1 < 1/1 = 1).
Exemple — optimisation d'un tirage. Le coût moyen d'une brochure (en €) pour un tirage de x centaines est f(x) = x + 400/x pour x > 0 (frais fixes 400 € répartis + coût proportionnel).
- Dérivée : f′(x) = 1 + 400 × (−1/x²) = 1 − 400/x².
- Signe : f′(x) = 0 ⇔ x² = 400 ⇔ x = 20 (car x > 0). Pour x < 20, x² < 400 donc 400/x² > 1 et f′(x) < 0 : f décroît. Pour x > 20 : f′(x) > 0 : f croît.
- Conclusion : le coût moyen est minimal pour x = 20 (soit 2 000 brochures) et vaut f(20) = 20 + 400/20 = 40 €. C'est le tirage optimal.
7. Erreurs fréquentes
- Écrire (x²)′ = 2 (c'est 2x) ou (5)′ = 5 (c'est 0).
- Dans l'équation de tangente, oublier le « + f(a) » : y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Conclure sur les variations sans étudier le signe de f′ sur tout l'intervalle.
- Déclarer un extremum là où f′ s'annule sans vérifier le changement de signe.
- Dériver 1/x en 1/x² (c'est −1/x² : ne pas oublier le signe moins).
- Dire que la fonction inverse est « décroissante sur ℝ » : elle n'est même pas définie en 0.