Géométrie dans l'espace
Un présentoir de comptoir, un tube pour expédier des affiches, un totem de signalétique, un cône de chantier : les objets fabriqués par les professionnels de la communication visuelle sont des solides ou des assemblages de solides. Ce chapitre donne les clés pour les reconnaître, les couper par un plan (sections) et les assembler.
1. Les solides usuels
Définitions et éléments caractéristiques.
- Cube : 6 faces carrées identiques, 12 arêtes égales, 8 sommets.
- Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires ; dimensions longueur × largeur × hauteur.
- Prisme droit : deux bases polygonales identiques et parallèles, faces latérales rectangulaires (ex. : prisme à base triangulaire d'un présentoir incliné).
- Cylindre de révolution : deux bases circulaires (rayon r) et une surface latérale qui se déroule en un rectangle (hauteur h). Exemple : tube d'expédition d'affiches.
- Cône de révolution : une base circulaire, un sommet ; exemple : cône de signalisation.
- Pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires se rejoignant au sommet.
- Sphère de centre O et de rayon r : ensemble des points situés à la distance r de O. La boule est son intérieur.
Le patron d'un solide est une figure plane qui, pliée, reconstitue le solide — essentiel en packaging : on imprime le patron à plat avant découpe et pliage.
Exemple métier. Un emballage de luxe pour un coffret graphique est un pavé droit de dimensions 30 cm × 20 cm × 5 cm. Son patron est une croix de 6 rectangles ; l'imprimeur ajoute les languettes de collage et les traits de coupe et de pliage sur le fichier PAO.
2. Sections d'un solide par un plan
Définition. La section d'un solide par un plan est la figure plane obtenue à l'intersection du solide et du plan : c'est la « tranche » que révélerait une coupe franche.
Propriétés — sections à connaître.
- Cube ou pavé droit coupé par un plan parallèle à une face → section de même nature que la face (carré pour le cube, rectangle pour le pavé).
- Cube coupé par un plan parallèle à une arête et « en diagonale » → section rectangulaire.
- Cylindre coupé par un plan perpendiculaire à l'axe → disque de même rayon ; coupé par un plan parallèle à l'axe → rectangle.
- Cône ou pyramide coupé par un plan parallèle à la base → section de même nature que la base, réduite (disque pour le cône, polygone pour la pyramide).
- Sphère coupée par un plan → un disque (cercle) ; si le plan passe par le centre, on obtient un grand cercle, de même rayon que la sphère.
Exemple résolu — section d'un cube. On découpe un cube en polystyrène ABCDEFGH d'arête 6 cm (prototype d'un cube de PLV) par le plan passant par I, J, K, milieux respectifs des arêtes [AB], [AD] et [AE].
- Étape 1. La section est le triangle IJK.
- Étape 2. Calculons IJ : dans le carré ABCD, I et J sont milieux de deux côtés issus de A, donc le triangle AIJ est rectangle en A avec AI = AJ = 3 cm. Par le théorème de Pythagore : IJ² = 3² + 3² = 18, donc IJ = √18 = 3√2 ≈ 4,24 cm.
- Étape 3. Par symétrie, JK = KI = 3√2 : la section est un triangle équilatéral de côté 3√2 cm.
Exemple résolu — section d'un cylindre (tube à affiches). Un tube cylindrique de rayon 5 cm et de hauteur 20 cm est scié par un plan parallèle à son axe, situé à 3 cm de l'axe.
- Étape 1. La section est un rectangle dont une dimension est la hauteur du cylindre : 20 cm.
- Étape 2. L'autre dimension est la corde coupée dans le disque de base à 3 cm du centre : demi-corde = √(r² − d²) = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm (Pythagore dans le triangle formé par le centre, le milieu de la corde et une extrémité). Corde = 2 × 4 = 8 cm.
- Conclusion : la section est un rectangle de 20 cm × 8 cm.
3. Utiliser un logiciel de géométrie 3D
Méthode — Conjecturer une section avec GeoGebra 3D.
- 1. Construire le solide (outil « cube », « cylindre », ou points + polygones extrudés).
- 2. Définir le plan de coupe (par trois points, ou « plan parallèle à une face »).
- 3. Utiliser l'outil « Intersection d'un plan avec un solide » (ou « plan de section ») : le polygone de section apparaît.
- 4. Faire tourner la figure pour observer la section sous différents angles et conjecturer sa nature.
- 5. Valider par le raisonnement et le calcul (Pythagore, propriétés des sections) : le logiciel conjecture, les mathématiques prouvent.
Vigilance. Sur un dessin en perspective, une section rectangulaire peut ressembler à un parallélogramme quelconque. Ne jamais conclure sur la seule apparence du dessin : utiliser les propriétés (plan parallèle à une face, à l'axe…) et les calculs.
4. Assemblages de solides
Principe. Un objet complexe se décompose en solides usuels. Son volume est la somme des volumes des composants (en retirant les éventuels évidements) ; sa surface à habiller (vinyle, impression adhésive) se calcule face par face en évitant de compter les faces de contact internes.
Rappels de volumes : pavé L × l × h ; cylindre πr²h ; cône (πr²h)/3 ; pyramide (aire de la base × h)/3 ; sphère (4πr³)/3.
Exemple résolu — totem de signalétique. Un totem est formé d'un socle pavé droit de 0,6 m × 0,6 m × 1,8 m surmonté d'une demi-sphère décorative de rayon 0,3 m.
- Volume du socle : 0,6 × 0,6 × 1,8 = 0,648 m³.
- Volume de la demi-sphère : ½ × (4π × 0,3³)/3 = (2π × 0,027)/3 = 0,018π ≈ 0,057 m³.
- Volume total : 0,648 + 0,057 ≈ 0,705 m³ — utile pour calculer la masse si le totem est en matière pleine, ou la quantité de mousse de remplissage.
5. Erreurs fréquentes
- Confondre sphère (surface) et boule (pleine) ; idem cercle / disque pour les sections.
- Croire que la section d'une sphère peut être une ellipse : c'est toujours un cercle (disque).
- Se fier à l'apparence en perspective pour nommer la section.
- Oublier les languettes de collage et les fonds perdus dans un patron d'emballage (contrainte métier réelle !).
- Additionner des volumes avec des unités différentes (convertir d'abord tout en m ou en cm).