Trigonométrie
Rotation d'un calque dans un logiciel de PAO, tambour d'une presse offset qui tourne, projecteur qui balaie une scène : les métiers de la communication visuelle manipulent des angles en rotation. La trigonométrie permet de mesurer ces angles (en radians) et de décrire les positions sur un cercle avec le cosinus et le sinus.
1. Le radian : une nouvelle unité d'angle
Définition. Sur un cercle de rayon 1, un angle de 1 radian (1 rad) est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 (longueur égale au rayon).
L'angle plat (demi-tour) correspond à un arc de longueur π : on a donc la correspondance fondamentale :
π rad = 180°
Conversions. Par proportionnalité :
- degrés → radians : rad = deg × π / 180 ;
- radians → degrés : deg = rad × 180 / π.
Exemples résolus.
- Rotation d'un calque de 90° : 90 × π/180 = π/2 rad.
- Rotation de 45° : 45 × π/180 = π/4 rad.
- Rotation de 30° : 30 × π/180 = π/6 rad.
- Dans l'autre sens : π/3 rad = 180/3 = 60° ; 3π/2 rad = 270°.
Vigilance. π ≈ 3,14 rad = 180°, donc 1 rad ≈ 57,3°. Vérifier toujours le mode de la calculatrice (DEG ou RAD) avant un calcul de cosinus ou de sinus : cos(60) en mode degrés donne 0,5 ; en mode radians, un tout autre résultat !
2. Cercle trigonométrique et enroulement de la droite des réels
Définitions.
- Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, muni d'un point de départ I(1 ; 0) et parcouru dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) pour les valeurs positives.
- On « enroule » la droite des réels autour du cercle : à tout réel x correspond un unique point M du cercle, appelé point image de x. La longueur de l'arc de I à M vaut |x|.
Exemples de points images. Comme le cercle a pour périmètre 2π :
- x = π/2 → quart de tour : M en « haut » du cercle (0 ; 1) ;
- x = π → demi-tour : M en (−1 ; 0) ;
- x = 2π → tour complet : retour en I(1 ; 0) — même point image que 0 !
Remarque : deux réels qui diffèrent d'un multiple de 2π (par exemple π/6 et π/6 + 2π) ont le même point image.
3. Cosinus et sinus d'un réel
Définition. Soit x un réel et M son point image sur le cercle trigonométrique (repère orthonormé). Alors :
- cos x = abscisse de M ;
- sin x = ordonnée de M.
Conséquences immédiates. Comme M est sur le cercle de rayon 1 :
- −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 ;
- cos²x + sin²x = 1 (théorème de Pythagore appliqué au triangle formé par M et ses projections).
Valeurs particulières à connaître.
| x (rad) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| en degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
Astuce : les cosinus décroissent de 1 à −1 quand x va de 0 à π ; les sinus croissent de 0 à 1 (jusqu'à π/2) puis redescendent.
4. Angles associés
Formules à connaître (à retrouver par symétries sur le cercle trigonométrique) :
| Angle associé | cosinus | sinus |
|---|---|---|
| −x | cos(−x) = cos x | sin(−x) = −sin x |
| π − x | cos(π − x) = −cos x | sin(π − x) = sin x |
| π + x | cos(π + x) = −cos x | sin(π + x) = −sin x |
| π/2 − x | cos(π/2 − x) = sin x | sin(π/2 − x) = cos x |
| π/2 + x | cos(π/2 + x) = −sin x | sin(π/2 + x) = cos x |
Exemple résolu. Calculer cos(5π/6) et sin(5π/6). On écrit 5π/6 = π − π/6 :
- cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −cos(π/6) = −√3/2 ;
- sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2.
Vérification : cos² + sin² = 3/4 + 1/4 = 1 ✔.
5. Les courbes des fonctions sinus et cosinus
Propriétés.
- La courbe de la fonction sinus est une « vague » qui part de 0, monte à 1 en π/2, repasse par 0 en π, descend à −1 en 3π/2 et revient à 0 en 2π.
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π : sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x (un tour complet ramène au même point).
- La courbe de la fonction cosinus s'obtient à partir de celle du sinus par une translation (décalage de π/2 vers la gauche) : cos x = sin(x + π/2).
Exemple métier. La hauteur d'un point marqué sur le tambour d'une presse offset (rayon 1, en rotation régulière) en fonction de l'angle de rotation x est décrite par sin x : le mouvement est périodique (période 2π, un tour de tambour). Même principe pour la hauteur d'un point d'une grande roue ou le balayage vertical d'un projecteur asservi.
6. Erreurs fréquentes
- Confondre degrés et radians (calculatrice dans le mauvais mode).
- Croire que π rad = 360° (c'est 180° ; 2π rad = 360°).
- Placer π/2 à droite du cercle : π/2 correspond au haut du cercle (quart de tour en sens direct).
- Écrire cos(π − x) = cos x (c'est −cos x : symétrie par rapport à l'axe vertical).
- Oublier que sin et cos restent entre −1 et 1 : un cosinus de 1,4 est impossible.
- Oublier la périodicité : sin(x + 2π) = sin x.