1. Expérience aléatoire : le vocabulaire
Un magasin organise une tombola, fait tourner une roue promotionnelle, interroge des clients au hasard… Ces situations relèvent du hasard : on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais on peut en mesurer les chances.
Définitions.
• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard (ex. : tirer un ticket de tombola).
• L'univers (noté Ω) est l'ensemble de tous les résultats possibles, appelés issues.
• Un événement est un sous-ensemble de l'univers : une condition qui peut être réalisée ou non (ex. : « le ticket est gagnant »).
• L'événement contraire d'un événement A, noté Ā, est l'événement qui est réalisé quand A ne l'est pas.
• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard (ex. : tirer un ticket de tombola).
• L'univers (noté Ω) est l'ensemble de tous les résultats possibles, appelés issues.
• Un événement est un sous-ensemble de l'univers : une condition qui peut être réalisée ou non (ex. : « le ticket est gagnant »).
• L'événement contraire d'un événement A, noté Ā, est l'événement qui est réalisé quand A ne l'est pas.
Exemple. Une roue de magasin comporte 8 secteurs : 1 « CADEAU », 2 « BON −10 % », 5 « PERDU ».
• Univers : Ω = {CADEAU ; BON −10 % ; PERDU} (ou les 8 secteurs numérotés).
• Événement A = « le client gagne quelque chose » = {CADEAU ; BON −10 %}.
• Événement contraire Ā = « le client ne gagne rien » = {PERDU}.
• Univers : Ω = {CADEAU ; BON −10 % ; PERDU} (ou les 8 secteurs numérotés).
• Événement A = « le client gagne quelque chose » = {CADEAU ; BON −10 %}.
• Événement contraire Ā = « le client ne gagne rien » = {PERDU}.
2. Calculer une probabilité
Définition. La probabilité d'un événement A, notée p(A), est un nombre qui mesure la chance que A se réalise.
Propriétés à connaître.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ p(A) ≤ 1.
• p(événement impossible) = 0 ; p(événement certain) = 1.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
• Événement contraire : p(Ā) = 1 − p(A).
• Équiprobabilité : quand toutes les issues ont la même chance,
p(A) = (nombre de cas favorables à A) ÷ (nombre total de cas possibles).
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ p(A) ≤ 1.
• p(événement impossible) = 0 ; p(événement certain) = 1.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
• Événement contraire : p(Ā) = 1 − p(A).
• Équiprobabilité : quand toutes les issues ont la même chance,
p(A) = (nombre de cas favorables à A) ÷ (nombre total de cas possibles).
Exemple (suite de la roue). Les 8 secteurs sont identiques : équiprobabilité.
• p(CADEAU) = 1/8 = 0,125.
• p(gagner quelque chose) = 3/8 = 0,375.
• p(ne rien gagner) = 1 − 3/8 = 5/8 = 0,625.
• p(CADEAU) = 1/8 = 0,125.
• p(gagner quelque chose) = 3/8 = 0,375.
• p(ne rien gagner) = 1 − 3/8 = 5/8 = 0,625.
3. Dénombrer : tableau à double entrée et arbre
Le tableau à double entrée. Quand on croise deux critères (âge × mode de paiement, rayon × avis client…), on range les effectifs dans un tableau à deux dimensions, avec une ligne et une colonne « Total ».
1. Remplir les cases intérieures avec les effectifs connus.
2. Compléter les totaux par additions et soustractions.
3. Pour une probabilité : p = (case favorable) ÷ (total général).
1. Remplir les cases intérieures avec les effectifs connus.
2. Compléter les totaux par additions et soustractions.
3. Pour une probabilité : p = (case favorable) ÷ (total général).
L'arbre de dénombrement (tirages successifs avec remise).
1. À chaque tirage, dessiner une branche par issue possible.
2. Écrire la probabilité de chaque issue sur sa branche.
3. Un chemin (suite de branches) représente un résultat de l'expérience.
4. Règle des produits : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
5. La probabilité d'un événement formé de plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
1. À chaque tirage, dessiner une branche par issue possible.
2. Écrire la probabilité de chaque issue sur sa branche.
3. Un chemin (suite de branches) représente un résultat de l'expérience.
4. Règle des produits : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
5. La probabilité d'un événement formé de plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
Exemple. Une borne d'accueil propose un jeu : probabilité de gagner = 0,2 à chaque essai. Deux clients jouent successivement (indépendant, « avec remise »).
Arbre : 1er client (0,2 gagné / 0,8 perdu), puis pour chaque cas le 2e client (0,2 / 0,8).
• p(les deux gagnent) = 0,2 × 0,2 = 0,04.
• p(un seul gagne) = 0,2 × 0,8 + 0,8 × 0,2 = 0,16 + 0,16 = 0,32.
• p(aucun ne gagne) = 0,8 × 0,8 = 0,64. Vérification : 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1.
Arbre : 1er client (0,2 gagné / 0,8 perdu), puis pour chaque cas le 2e client (0,2 / 0,8).
• p(les deux gagnent) = 0,2 × 0,2 = 0,04.
• p(un seul gagne) = 0,2 × 0,8 + 0,8 × 0,2 = 0,16 + 0,16 = 0,32.
• p(aucun ne gagne) = 0,8 × 0,8 = 0,64. Vérification : 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1.
4. Échantillons, fluctuation et stabilisation
Définitions.
• Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois la même expérience aléatoire dans les mêmes conditions (ex. : interroger n clients).
• La fréquence observée d'un événement dans l'échantillon est : f = (nombre de réalisations) ÷ n.
• Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois la même expérience aléatoire dans les mêmes conditions (ex. : interroger n clients).
• La fréquence observée d'un événement dans l'échantillon est : f = (nombre de réalisations) ÷ n.
Deux phénomènes fondamentaux.
• Fluctuation : d'un échantillon à l'autre (de même taille n), la fréquence observée varie. Plus n est petit, plus la fluctuation est grande.
• Stabilisation (loi des grands nombres) : quand la taille n de l'échantillon augmente, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité p de l'événement.
Consequence pratique : pour estimer une probabilité inconnue (proportion de clients satisfaits…), on observe la fréquence sur un grand échantillon.
• Fluctuation : d'un échantillon à l'autre (de même taille n), la fréquence observée varie. Plus n est petit, plus la fluctuation est grande.
• Stabilisation (loi des grands nombres) : quand la taille n de l'échantillon augmente, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité p de l'événement.
Consequence pratique : pour estimer une probabilité inconnue (proportion de clients satisfaits…), on observe la fréquence sur un grand échantillon.
Exemple. Un magasin veut connaître la proportion de clients satisfaits de l'accueil.
• Sur un échantillon de 10 clients : 7 satisfaits → f = 0,7. Un autre groupe de 10 : 5 satisfaits → f = 0,5. Forte fluctuation, estimation peu fiable.
• Sur 1 000 clients : 640 satisfaits → f = 0,64. La fréquence s'est stabilisée : on estime p ≈ 0,64, estimation bien plus fiable.
• Sur un échantillon de 10 clients : 7 satisfaits → f = 0,7. Un autre groupe de 10 : 5 satisfaits → f = 0,5. Forte fluctuation, estimation peu fiable.
• Sur 1 000 clients : 640 satisfaits → f = 0,64. La fréquence s'est stabilisée : on estime p ≈ 0,64, estimation bien plus fiable.
Erreurs fréquentes à éviter.
• Écrire une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est impossible.
• Croire qu'après une série de « perdu », on a « plus de chances » de gagner au tirage suivant : avec remise, les tirages sont indépendants, la probabilité ne change pas.
• Confondre fréquence observée et probabilité : la fréquence fluctue, la probabilité est fixe.
• Conclure à partir d'un tout petit échantillon (10 clients) comme si c'était une certitude.
• Dans un arbre, oublier que les probabilités des branches issues d'un même nœud doivent totaliser 1.
• Écrire une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est impossible.
• Croire qu'après une série de « perdu », on a « plus de chances » de gagner au tirage suivant : avec remise, les tirages sont indépendants, la probabilité ne change pas.
• Confondre fréquence observée et probabilité : la fréquence fluctue, la probabilité est fixe.
• Conclure à partir d'un tout petit échantillon (10 clients) comme si c'était une certitude.
• Dans un arbre, oublier que les probabilités des branches issues d'un même nœud doivent totaliser 1.