1. Solides usuels et figures planes
Un magasin est rempli de géométrie : cartons (pavés droits), cônes de signalisation, boules de décoration, rayonnages rectangulaires, allées parallèles… Savoir mesurer, calculer et vérifier est un vrai atout professionnel.
Les solides usuels à reconnaître.
• Cube : 6 faces carrées identiques.
• Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires (un carton, une réserve).
• Pyramide : une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent au sommet.
• Cylindre : deux disques parallèles reliés par une surface courbe (boîte de conserve, rouleau).
• Cône : un disque de base et un sommet (cône de chantier).
• Boule (sphère) : tous ses points sont à la même distance du centre (boule décorative).
• Cube : 6 faces carrées identiques.
• Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires (un carton, une réserve).
• Pyramide : une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent au sommet.
• Cylindre : deux disques parallèles reliés par une surface courbe (boîte de conserve, rouleau).
• Cône : un disque de base et un sommet (cône de chantier).
• Boule (sphère) : tous ses points sont à la même distance du centre (boule décorative).
Figures planes usuelles. Triangle (quelconque, rectangle, isocèle, équilatéral), carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle et disque. On s'intéresse à leurs périmètres (longueurs du contour) et à leurs aires (surfaces).
2. Le théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
hypoténuse² = côté₁² + côté₂²
hypoténuse² = côté₁² + côté₂²
Réciproque du théorème de Pythagore. Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Sert à vérifier qu'un angle est droit (implantation d'un rayonnage, pose d'une étagère).
Sert à vérifier qu'un angle est droit (implantation d'un rayonnage, pose d'une étagère).
Exemple 1 (calcul). Un carton rectangulaire mesure 60 cm × 80 cm. Un ruban doit être tendu sur la diagonale :
diagonale² = 60² + 80² = 3 600 + 6 400 = 10 000 → diagonale = √10 000 = 100 cm.
diagonale² = 60² + 80² = 3 600 + 6 400 = 10 000 → diagonale = √10 000 = 100 cm.
Exemple 2 (vérification). Pour vérifier qu'un angle de réserve est droit, l'employé mesure un triangle 6 m, 8 m, 10 m :
10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. L'égalité est vraie → l'angle est droit. C'est la « règle du 3-4-5 » des professionnels.
10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. L'égalité est vraie → l'angle est droit. C'est la « règle du 3-4-5 » des professionnels.
3. Le théorème de Thalès dans le triangle
Théorème de Thalès. Dans un triangle ABC, si M est un point de [AB], N un point de [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les rapports sont égaux :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Autrement dit, le petit triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC.
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Autrement dit, le petit triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC.
Exemple (plan de magasin). Deux allées sont parallèles. On connaît AM = 2 m, AB = 5 m, AN = 3 m ; on cherche AC.
AM/AB = AN/AC → 2/5 = 3/AC → produit en croix : 2 × AC = 15 → AC = 7,5 m.
AM/AB = AN/AC → 2/5 = 3/AC → produit en croix : 2 × AC = 15 → AC = 7,5 m.
4. Périmètres, aires et volumes : le formulaire
Périmètres et aires usuels.
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré de côté c | 4c | c² |
| Rectangle L × l | 2(L + l) | L × l |
| Triangle (base b, hauteur h) | somme des 3 côtés | (b × h) ÷ 2 |
| Disque de rayon r | 2πr (circonférence) | πr² |
Volumes usuels.
L'unité de volume s'exprime en unités cubes : cm³, m³… Rappel : 1 L = 1 dm³.
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cube d'arête a | a³ |
| Pavé droit L × l × h | L × l × h |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | πr² × h |
Exemple. Un rouleau de papier d'emballage est un cylindre de rayon 10 cm et de longueur 50 cm :
V = π × 10² × 50 = π × 100 × 50 = 5 000π ≈ 15 708 cm³ ≈ 15,7 dm³.
V = π × 10² × 50 = π × 100 × 50 = 5 000π ≈ 15 708 cm³ ≈ 15,7 dm³.
5. Agrandissement et réduction
Règle fondamentale. Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
• les longueurs sont multipliées par k ;
• les aires sont multipliées par k² ;
• les volumes sont multipliés par k³.
Agrandissement : k > 1 ; réduction : 0 < k < 1 (plan à l'échelle 1/100 : k = 0,01).
• les longueurs sont multipliées par k ;
• les aires sont multipliées par k² ;
• les volumes sont multipliés par k³.
Agrandissement : k > 1 ; réduction : 0 < k < 1 (plan à l'échelle 1/100 : k = 0,01).
Exemple. Une enseigne lumineuse est reproduite 3 fois plus grande (k = 3).
• Longueurs × 3 : un panneau de 40 cm devient 120 cm.
• Aires × 9 : la surface à peindre passe de 0,2 m² à 1,8 m² → prévoir 9 fois plus de peinture.
• Si c'était un volume (caisson) : × 27.
• Longueurs × 3 : un panneau de 40 cm devient 120 cm.
• Aires × 9 : la surface à peindre passe de 0,2 m² à 1,8 m² → prévoir 9 fois plus de peinture.
• Si c'était un volume (caisson) : × 27.
6. Grandeurs proportionnelles
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles quand l'une s'obtient en multipliant l'autre par un même nombre, le coefficient de proportionnalité. Les représentations graphiques sont alors des points alignés avec l'origine.
Exemples en géométrie commerciale.
• Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son rayon : P = 2πr (coefficient 2π). Doubler le rayon d'un stand circulaire double la longueur du ruban décoratif.
• En revanche, l'aire du disque (πr²) n'est pas proportionnelle au rayon : rayon × 2 → aire × 4. C'est exactement la règle de l'agrandissement.
• Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son rayon : P = 2πr (coefficient 2π). Doubler le rayon d'un stand circulaire double la longueur du ruban décoratif.
• En revanche, l'aire du disque (πr²) n'est pas proportionnelle au rayon : rayon × 2 → aire × 4. C'est exactement la règle de l'agrandissement.
Erreurs fréquentes à éviter.
• Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle.
• Confondre hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) et côtés de l'angle droit.
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin : 60² + 80² = 10 000, la diagonale est √10 000 = 100, pas 10 000 !
• Mélanger les unités : convertir toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
• Croire qu'un agrandissement ×2 double les aires : les aires sont multipliées par 4.
• Dans Thalès, mal associer les rapports : toujours « petit côté ÷ grand côté correspondant ».
• Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle.
• Confondre hypoténuse (le plus long côté, opposé à l'angle droit) et côtés de l'angle droit.
• Oublier de prendre la racine carrée à la fin : 60² + 80² = 10 000, la diagonale est √10 000 = 100, pas 10 000 !
• Mélanger les unités : convertir toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
• Croire qu'un agrandissement ×2 double les aires : les aires sont multipliées par 4.
• Dans Thalès, mal associer les rapports : toujours « petit côté ÷ grand côté correspondant ».