1. La notion de fonction
Une fonction est une « machine » qui, à un nombre x (la variable), associe un unique résultat noté f(x). Exemple : le prix payé en fonction du nombre d'articles, le chiffre d'affaires en fonction de l'heure de la journée.
Définitions.
• Image : f(x) est l'image de x par la fonction f. C'est le résultat.
• Antécédent : si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents… ou aucun !
• La notation f(x) se lit « f de x ».
• Image : f(x) est l'image de x par la fonction f. C'est le résultat.
• Antécédent : si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents… ou aucun !
• La notation f(x) se lit « f de x ».
Exemple. Un pressing facture f(x) = 2x + 3 € pour x vêtements (2 € par vêtement + 3 € de forfait).
• Image de 5 : f(5) = 13 → 5 vêtements coûtent 13 €.
• Antécédent de 21 : on résout 2x + 3 = 21 → x = 9 → avec 21 € on peut faire nettoyer 9 vêtements.
• Image de 5 : f(5) = 13 → 5 vêtements coûtent 13 €.
• Antécédent de 21 : on résout 2x + 3 = 21 → x = 9 → avec 21 € on peut faire nettoyer 9 vêtements.
2. Les modes de représentation d'une fonction
- Expression littérale : f(x) = 2x + 3 (permet tous les calculs).
- Tableau de valeurs : on choisit des valeurs de x et on calcule les images.
- Courbe représentative : dans un repère, la courbe d'équation y = f(x) est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).
Lire un graphique.
• Pour lire l'image d'un nombre : partir de l'axe des abscisses (x), monter jusqu'à la courbe, lire la valeur sur l'axe des ordonnées (y).
• Pour lire un antécédent : partir de l'axe des ordonnées, rejoindre la courbe horizontalement, descendre vers l'axe des abscisses. Il peut y avoir plusieurs points → plusieurs antécédents.
• Pour lire l'image d'un nombre : partir de l'axe des abscisses (x), monter jusqu'à la courbe, lire la valeur sur l'axe des ordonnées (y).
• Pour lire un antécédent : partir de l'axe des ordonnées, rejoindre la courbe horizontalement, descendre vers l'axe des abscisses. Il peut y avoir plusieurs points → plusieurs antécédents.
3. Fonctions linéaires et affines
Définitions.
• Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité. Sa courbe est une droite qui passe par l'origine.
• Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite.
• a est le coefficient directeur (la pente) ; b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(0), là où la droite coupe l'axe vertical).
• Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité. Sa courbe est une droite qui passe par l'origine.
• Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite.
• a est le coefficient directeur (la pente) ; b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(0), là où la droite coupe l'axe vertical).
Propriétés essentielles.
• Taux d'accroissement : entre deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) de la droite,
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
• Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
• Droites parallèles : deux fonctions affines de même coefficient directeur sont représentées par des droites parallèles.
• Taux d'accroissement : entre deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) de la droite,
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
• Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
• Droites parallèles : deux fonctions affines de même coefficient directeur sont représentées par des droites parallèles.
Exemple. Tarifs de livraison de deux transporteurs : f(x) = 3x + 5 et g(x) = 3x + 9 (en €, x = poids en kg).
Même coefficient directeur a = 3 → droites parallèles : le transporteur g coûte toujours 4 € de plus, quel que soit le poids.
Taux d'accroissement de f entre x = 1 (f(1) = 8) et x = 6 (f(6) = 23) : (23 − 8) ÷ (6 − 1) = 15 ÷ 5 = 3 ✔ : 3 € par kg supplémentaire.
Même coefficient directeur a = 3 → droites parallèles : le transporteur g coûte toujours 4 € de plus, quel que soit le poids.
Taux d'accroissement de f entre x = 1 (f(1) = 8) et x = 6 (f(6) = 23) : (23 − 8) ÷ (6 − 1) = 15 ÷ 5 = 3 ✔ : 3 € par kg supplémentaire.
4. Variations, extremums et tableau de variations
Définitions.
• Une fonction est croissante sur un intervalle si ses images augmentent quand x augmente (la courbe « monte »).
• Elle est décroissante si ses images diminuent (la courbe « descend »).
• Un maximum est la plus grande valeur atteinte ; un minimum, la plus petite. Ce sont les extremums.
• Une fonction est croissante sur un intervalle si ses images augmentent quand x augmente (la courbe « monte »).
• Elle est décroissante si ses images diminuent (la courbe « descend »).
• Un maximum est la plus grande valeur atteinte ; un minimum, la plus petite. Ce sont les extremums.
Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe.
1. Repérer sur l'axe des x les intervalles où la courbe monte (flèche ↗) et où elle descend (flèche ↘).
2. Noter les valeurs de x où le sens change, avec les images correspondantes.
3. Tracer le tableau : première ligne = valeurs de x, deuxième ligne = flèches et valeurs des images.
1. Repérer sur l'axe des x les intervalles où la courbe monte (flèche ↗) et où elle descend (flèche ↘).
2. Noter les valeurs de x où le sens change, avec les images correspondantes.
3. Tracer le tableau : première ligne = valeurs de x, deuxième ligne = flèches et valeurs des images.
Exemple. Fréquentation d'un magasin au cours d'une journée : la courbe monte de l'ouverture (9 h) jusqu'à 12 h, descend jusqu'à 14 h, remonte jusqu'au pic de 18 h puis descend jusqu'à la fermeture (19 h).
Le maximum de fréquentation est atteint à 18 h : c'est l'information utile pour placer les pauses du personnel !
Le maximum de fréquentation est atteint à 18 h : c'est l'information utile pour placer les pauses du personnel !
5. La fonction carré et ses transformations
Fonction carré. La fonction carré est f(x) = x2. Sa courbe est une parabole :
• décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ;
• elle admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0 ;
• elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : f(−x) = f(x).
• décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ;
• elle admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0 ;
• elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : f(−x) = f(x).
Variations de la famille.
• x ↦ kx2 : si k > 0, la parabole garde la même allure (ouverte vers le haut), plus ou moins « écartée » ; si k < 0, la parabole est retournée (ouverte vers le bas) et admet un maximum 0.
• x ↦ f(x) + k : la courbe de f est translatée verticalement de k (vers le haut si k > 0, vers le bas si k < 0).
Exemple : la courbe de g(x) = x2 + 2 est celle de x2 décalée de 2 unités vers le haut ; son minimum est 2, atteint en x = 0.
• x ↦ kx2 : si k > 0, la parabole garde la même allure (ouverte vers le haut), plus ou moins « écartée » ; si k < 0, la parabole est retournée (ouverte vers le bas) et admet un maximum 0.
• x ↦ f(x) + k : la courbe de f est translatée verticalement de k (vers le haut si k > 0, vers le bas si k < 0).
Exemple : la courbe de g(x) = x2 + 2 est celle de x2 décalée de 2 unités vers le haut ; son minimum est 2, atteint en x = 0.
6. Résolutions graphiques
Résoudre graphiquement f(x) = c et f(x) < c.
1. Tracer (ou observer) la courbe de f et la droite horizontale d'équation y = c.
2. f(x) = c : les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
3. f(x) < c : repérer les portions de courbe en dessous de la droite y = c ; les solutions sont les x correspondants (intervalle(s)).
1. Tracer (ou observer) la courbe de f et la droite horizontale d'équation y = c.
2. f(x) = c : les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
3. f(x) < c : repérer les portions de courbe en dessous de la droite y = c ; les solutions sont les x correspondants (intervalle(s)).
Résoudre graphiquement un système de 2 équations à 2 inconnues.
Un système comme { y = 2x + 3 ; y = −x + 9 } se résout graphiquement ainsi :
1. Tracer les deux droites correspondantes.
2. Lire les coordonnées du point d'intersection : c'est le couple solution (x ; y).
3. Vérifier par le calcul que ces coordonnées satisfont les deux équations.
Ici : intersection en (2 ; 7). Vérification : 2×2 + 3 = 7 et −2 + 9 = 7 ✔.
Un système comme { y = 2x + 3 ; y = −x + 9 } se résout graphiquement ainsi :
1. Tracer les deux droites correspondantes.
2. Lire les coordonnées du point d'intersection : c'est le couple solution (x ; y).
3. Vérifier par le calcul que ces coordonnées satisfont les deux équations.
Ici : intersection en (2 ; 7). Vérification : 2×2 + 3 = 7 et −2 + 9 = 7 ✔.
Exemple métier. Deux offres : « 2 € par article + 3 € de frais » (f) et « lot forfaitaire dégressif » modélisé par g(x) = −x + 9. Le point d'intersection (2 ; 7) donne la quantité pour laquelle les deux offres se valent : 2 articles pour 7 €. Au-delà, on compare la position des courbes pour savoir quelle offre est la moins chère.
Erreurs fréquentes à éviter.
• Confondre image et antécédent : l'image se calcule (ou se lit sur l'axe y), l'antécédent se cherche (lecture sur l'axe x).
• Dire « fonction linéaire » pour toute droite : linéaire = passe par l'origine (b = 0).
• Calculer le taux d'accroissement en inversant x et y : c'est bien (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), dans le même ordre en haut et en bas.
• Oublier qu'une fonction affine avec a < 0 est décroissante.
• Lire une solution graphique avec imprécision : vérifier toujours par le calcul si possible.
• Confondre image et antécédent : l'image se calcule (ou se lit sur l'axe y), l'antécédent se cherche (lecture sur l'axe x).
• Dire « fonction linéaire » pour toute droite : linéaire = passe par l'origine (b = 0).
• Calculer le taux d'accroissement en inversant x et y : c'est bien (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), dans le même ordre en haut et en bas.
• Oublier qu'une fonction affine avec a < 0 est décroissante.
• Lire une solution graphique avec imprécision : vérifier toujours par le calcul si possible.